Аналитическая теория чисел

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.
 Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

a1x1+...+anxn=N,
  где a1,...,an — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при |z|<1)

Fi(z)=k=0(zai)k
  и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом

F(z)=N=0l(N)zN,
  где l(N) — число решений изучаемого уравнения. На основе этого метода был построен круговой метод Харди — Литлвуда.
 В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида S(a)=n=1pe2πian2/p, которые могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов (по формуле Эйлера), из-за чего они являются частным случаем тригонометрических сумм. Метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах играет большую роль в аналитической теории чисел. Основы метода разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов.
 Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:

Πp(11ps)1=n=11ns,
  которое стало основанием для теорий дзета-функций. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения ζ(s)=0 лежат на так называемой критической прямой Res=12, где ζ(s) — дзета-функция Римана.
 Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что

Πp(1χ(p)ps)1=n=1χ(n)ns,
  при этом функция χ(p), получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций.
 Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходяших X, обозначенное как π(X), стремится к бесконечности по следующему закону:

aXln(X)<π(X)<bXln(X), где a>1/2ln2 и b<2ln2.
  Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.