Характер

Характер (или числовой характер, или характер Дирихле) по модулю k (где k2 — целое число) — комплекснозначная периодическая функция χ(n) на множестве целых чисел со следующими свойствами:

  1. |χ(n)|=1, если n взаимно просто с k, и χ(n)=0 в противном случае.
  2. χ(nm)=χ(n)χ(m) для любых m и n (мультипликативность).
  3. χ(n+k)=χ(n) для любых n (периодичность).

Свойства



  • Существует в точности φ(k) различных характеров по модулю k, где φ — функция Эйлера.
  • Все характеры по модулю k образуют группу порядка φ(k), изоморфную мультипликативной подгруппе \Zk обратимых элементов кольца вычетов по модулю k.

Связанные определения



  • Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с k, называется главным:
    χ0(n)={1,(n,k)=1;0,(n,k)1.
    • В группе характеров по модулю k он играет роль единицы.

Основные соотношения


 Довольно часто используются следующие соотношения:

n=1kχ(n)={φ(k),χ=χ0;0,χχ0.;


χχ(n)={φ(k),n1(modk);0,n1(modk)., где суммирование ведётся по всем возможным характерам.