Функция Дикмана

 В аналитической теории чисел функцией Дикмана (другое название — функция Дикмана—де Брёйна) ρ называется специальная функция, используемая для оценки числа гладких чисел для заданной границы. Впервые функция появилась у Карла Дикмана, в его единственной статье, посвященной математике, Позже функция была изучена датским математиком Николасом де Брёйном.

Определение


 Функция Дикмана—де Брёйна ρ(u) — это непрерывная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению со сдвигом
uρ(u)+ρ(u1)=0

 с начальными условиями ρ(u)=1 для 0 ≤ u ≤ 1.
 Дикман, основываясь на эвристических соображениях, показал, что
Ψ(x,x1/a)xρ(a)
где Ψ(x,y) — число y-гладких целых, меньших  x.
 В. Рамасвами (V. Ramaswami) позднее дал строгое доказательство, что
Ψ(x,x1/a)=xρ(a)+O(x/logx)
в нотации О большое.

Приложения


 Основное приложение функция Дикмана-де Брёйна находит в оценке частоты появления гладких целых в заданных границах. Функция может быть использована для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, хотя и сама по себе она интересна.
 Используя logρ, можно показать, что
Ψ(x,y)=xuO(u)
,
 что связано с оценкой ρ(u)uu, приведенной ниже.
 Постоянная Голомба—Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана—де Брёйна.

Оценка


 Простым приближением может служить ρ(u)uu. Лучшую оценку дает
ρ(u)1ξ2πuexp(uξ+Ei(ξ))
,
 где Ei – интегральная показательная функция, а ξ – положительный корень уравнения
eξ1=uξ.

 Простую верхнюю оценку дает ρ(x)1/x!.
uρ(u)
11
23.0685282
34.8608388
44.9109256
53.5472470
61.9649696
78.7456700
83.2320693
91.0162483
102.7701718

Вычисление


 Для каждого интервала [n − 1, n] с целым n существует аналитическая функция ρn, такая, что ρn(u)=ρ(u). Для 0 ≤ u ≤ 1, ρ(u)=1. Для 1 ≤ u ≤ 2, ρ(u)=1logu. Для 2 ≤ u ≤ 3,
ρ(u)=1(1log(u1))log(u)+Li2(1u)+π212
,
 где Li2 — дилогарифм. Остальные ρn могут быть вычислены, используя бесконечные ряды.
 Альтернативным методом вычисления может служить определение верхней и нижней границ методом трапеций.

Расширение


 Бах и Перальта определили двумерный аналог σ(u,v) функции ρ(u). Эта функция используется для оценки функции Ψ(x,y,z), аналогичной функции де Брёйна, но учитывающей число y-гладких целых чисел с хотя бы одним простым множителем, большим z. Тогда
Ψ(x,x1/a,x1/b)xσ(b,a).