Ряд Дирихле

Рядом Дирихле называется ряд вида

n=1anns,
  где s и an — комплексные числа, n = 1, 2, 3, \ldots .
Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число σc, что при Res>σc он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число σa, что при Res>σa ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение 0σaσc1 (если σc и σa конечны).
 Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространённым примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана, а также L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках


 Если некоторый ряд сходится в комплексной точке s0=σ0+t0i, то этот же ряд сходится в любой точке s=σ+ti, для которой σ>σ0. Из этого следует, что существует некоторая точка σ=σc такая, что при Res>σc ряд сходится, а при Res<σc --- расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.
 Абсциссой абсолютной сходимости σa для ряда n=1anns называется точка абсцисса сходимости ряда n=1anns. Справедливо утверждение о том, что 0σaσc1.
 Поведение функции при Res может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка s=σc является особой для некоторого ряда Дирихле, если σc - его абсцисса сходимости.

Примеры



ζ(s)=n=11ns,
  где ζ(s) — дзета-функция Римана.

1ζ(s)=n=1μ(n)ns,
  где μ(n) — функция Мёбиуса.

1L(χ,s)=n=1μ(n)χ(n)ns,
  где L(χ,s) — L-функция Дирихле.
Lis(z)=n=1znns
, где Lis(z) — полилогарифм.
k=11k=1+12+13+14++1k+ ,
 гармонический ряд расходится.
 Категория:Ряды Категория:Аналитическая теория чисел