Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Ряд Дирихле

Рядом Дирихле называется ряд вида

n=1anns,
 где s и an — комплексные числа,n = 1, 2, 3, \ldots .
Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое числоσc, что при Res>σc он сходится;абсциссой абсолютной сходимости называется такое числоσa, что при Res>σa ряд сходитсяабсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение0σaσc1 (если σc и σaконечны).
 Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболеераспространённым примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана, атакже L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разныхточках


 Если некоторый ряд сходится в комплексной точкеs0=σ0+t0i, то этот же ряд сходится в любой точкеs=σ+ti, для которой σ>σ0. Из этого следует,что существует некоторая точка σ=σc такая, что приRes>σc ряд сходится, а приRes<σc --- расходится. Такая точканазывается абсциссой сходимости.
 Абсциссой абсолютной сходимости σa для рядаn=1anns называется точкаабсцисса сходимости рядаn=1anns. Справедливо утверждениео том, что 0σaσc1.
 Поведение функции при Res может быть различным. ЭдмундЛандау показал, что точка s=σc является особой для некоторогоряда Дирихле, если σc - его абсцисса сходимости.

Примеры



ζ(s)=n=11ns,
 где ζ(s) — дзета-функция Римана.

1ζ(s)=n=1μ(n)ns,
 где μ(n) — функция Мёбиуса.

1L(χ,s)=n=1μ(n)χ(n)ns,
 где L(χ,s) — L-функция Дирихле.
Lis(z)=n=1znns, гдеLis(z) — полилогарифм.
k=11k=1+12+13+14++1k+,
 гармонический ряд расходится.
 Категория:Ряды Категория:Аналитическая теория чисел