Ряды Эйзенштейна

Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна — специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.

Определение


Ряд Эйзенштейна $G_{2kвеса2kфункция,определённаянаверхнейполуплоскости\{Im(\tau)>0\}\subset \CизаданнаякаксуммарядаG2k(τ)=(m,n)(0,0)1(m+nτ)2k.Этотрядабсолютносходитсякголоморфнойфункциипеременной\tau$.

Свойства


Модулярность


 Ряд Эйзенштейна задаёт модулярную форму веса 2k: для любых целых a,b,c,dZ с adbc=1 имеем
G2k(aτ+bcτ+d)=(cτ+d)2kG2k(τ).

 Это следует из того, что ряд Эйзенштейна можно представить как функцию от порождённой 1 и τ решётки Γ=1,τ, продолжив его на всё пространство решёток:
G2k(Γ)=zΓ{0}z2k.
Тогда G2k(λΓ)=λ2kG2k(Γ). Соотношение модулярности тогда соответствует переходу от базиса {τ,1} к базису {aτ+b,cτ+d} той же решётки (что не изменяет значения G2k(Γ)) и нормированию второго элемента нового базиса на 1.

Представление модулярных форм


 Более того, как оказывается, любая модулярная форма (произвольного веса 2m) выражается как полином от G4 и G6:
f=4k+6l=2makG4kG6l.

Связь с эллиптическими кривыми


-функция Вейерштрасса эллиптической кривой E=\C/Γ раскладывается в ряд Лорана в нуле как
E(z)=1z2+k=1(2k+1)G2k+2(Γ)z2k.
В частности, модулярные инварианты кривой E равны
g2=60G4,g3=140G6.