Функции Чебышёва

Функции Чебышёва — теоретико-числовые функции θ(x) и ψ(x), связанные с распределением простых чисел и определённые как

θ(x)=pxlnp
  и

ψ(x)=pmxlnp,
  где p — простые числа, m — натуральное число.
 Введены русским математиком Пафнутием Чебышёвым.

Свойства



  • Определение пси-функции Чебышёва может записано через функцию Мангольдта: ψ(x)=nxΛ(n).
  • Функции Чебышёва связаны соотношением ψ(x)=θ(x)+θ(x)+θ(x3)+..., откуда следует асимптотическое соотношение ψ(x)=θ(x)+O(x)
  • Потенцирование даёт: eψ(x)=lcm(1,2,...,[x]), eθ(x)=pxp

Связь с распределением простых чисел



  • Функции Чебышёва связаны с функцией распределения простых чисел: ψ(x)θ(x)π(x)lnx.
  • Для пси-функции Чебышёва существуют явные формулы, получаемые анализом дзета-функции Римана:

ψ(x)=xρxρρln2π12ln(1x2),
где ρ пробегает все нетривиальные нули дзета-функции.

  • Теорема Валле — Пуссена о распределении простых в терминах пси-функции формулируется так:

ψ(x)=x+O(eclnx)
А гипотеза Римана эквивалентна утверждению
ψ(x)=x+O(xln2x)