Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Тождество восьми квадратов

Тождество восьми квадратов — математическая теорема о том,что
 произведение сумм восьми квадратов является суммой восьми квадратов.

Доказательство


 Действительно:

(a21+a22+a23+a24+a25+a26+a27+a28)(b21+b22+b23+b24+b25+b26+b27+b28)=



(a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5a6b6a7b7a8b8)2+



(a2b1+a1b2+a4b3a3b4+a6b5a5b6a8b7+a7b8)2+



(a3b1a4b2+a1b3+a2b4+a7b5+a8b6a5b7a6b8)2+



(a4b1+a3b2a2b3+a1b4+a8b5a7b6+a6b7a5b8)2+



(a5b1a6b2a7b3a8b4+a1b5+a2b6+a3b7+a4b8)2+



(a6b1+a5b2a8b3+a7b4a2b5+a1b6a4b7+a3b8)2+



(a7b1+a8b2+a5b3a6b4a3b5+a4b6+a1b7a2b8)2+



(a8b1a7b2+a6b3+a5b4a4b5a3b6+a2b7+a1b8)2

История


 Впервые открытое датским математиком около 1818 года, это замечательноетождество было «переоткрыто» ещё два раза: сначала в 1843 году, а затемАртуром Кэли в 1845 году. Кэли вывел его, работая над обобщениемкватернионов, названным октонионами. В алгебраических терминах тождествоозначает, что норма произведения двух октонионов равняется произведениюих норм: ab=ab.
 Подобное утверждение верно для кватернионов («тождество четырёхквадратов»), комплексных чисел («тождество двух квадратов») идействительных чисел. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что подобноготождества не существует ни для 16 (седенионы), ни для любого другогочисла квадратов, кроме 1, 2, 4 и 8.