Processing math: 100%

Тождество четырёх квадратов

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — математическая теоремао том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёхквадратов. Действительно:

(a21+a22+a23+a24)(b21+b22+b23+b24)
=(a1b1a2b2a3b3a4b4)2+(a1b2+a2b1+a3b4a4b3)2

+(a1b3a2b4+a3b1+a4b2)2+(a1b4+a2b3a3b2+a4b1)2

 Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однакоесли ai и bi — действительные числа, тогда тождество может бытьпереформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведениядвух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

|ab|=|a||b|.

Аналогичныетождества



  • «тождество одного квадрата»



a2b2=(ab)2


  • «тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты)



(a21+a22)(b21+b22)=(a1b1a2b2)2+(a1b2+a2b1)2


  • «тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей:
    |ab|=|a||b|.

 Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равнапроизведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходныхпеременных.
 Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато естьсхожая (для 2N квадратов при любом натуральном N) существенно инаяформа, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — потеореме А. Пфистера.

История


 Тождество было выведено Эйлером в 1750 году. Это было сделано почти за100 лет до появления кватернионов.
 Тождество Эйлера было использовано Лагранжем в доказательстве еготеоремы о сумме четырёх квадратов.