Тождество четырёх квадратов

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — математическая теорема о том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов. Действительно:

(a12+a22+a32+a42)(b12+b22+b32+b42)
=(a1b1a2b2a3b3a4b4)2+(a1b2+a2b1+a3b4a4b3)2

+(a1b3a2b4+a3b1+a4b2)2+(a1b4+a2b3a3b2+a4b1)2

 Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однако если ai и bi — действительные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

|ab|=|a||b|.

Аналогичные тождества



  • «тождество одного квадрата»



a2b2=(ab)2


  • «тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты)



(a12+a22)(b12+b22)=(a1b1a2b2)2+(a1b2+a2b1)2


  • «тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей:
    |ab|=|a||b|.

 Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.
 Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для 2N квадратов при любом натуральном N) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.

История


 Тождество было выведено Эйлером в 1750 году. Это было сделано почти за 100 лет до появления кватернионов.
 Тождество Эйлера было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.