Интегральный логарифм

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

li(x)=0xdtlnt.
  Для устранения сингулярности при x=1 иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

Li(x)=2xdtlnt.
  Эти две функции связаны соотношением:

li(x)Li(x)=li(2)1,045163780117492
  Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.
 Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

li(x)=Ei(lnx).
  Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке μ1,451369234883381050283968485892027449493 (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в ряд


 Из тождества, связывающего li(x) и Ei(lnx) следует ряд:

li(x)=Ei(lnx)=γ+lnlnx+n=1(lnx)nnn!,
  где γ0,577215664901532 — постоянная Эйлера — Маскерони.
 Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

li(x)=γ+lnlnx+xn=1(1)n1(lnx)n2n1n!k=0(n1)/212k+1.

Интегральный логарифм и распределение простых чисел


 Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем x/lnx. При справедливости гипотезы Римана выполняется

π(x)=Li(x)+O(xln2(x)).
  Для не слишком больших x π(x)<Li(x), однако доказано, что при некотором достаточно большом x неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза и в настоящее время для этого числа найдена оценка сверху ee27/4.