Мера Малера

Мера Малера M(p) ' многочлена' p(z) с комплексными коэффициентами определяется как
 $$M(p) = |a|\prod_{| где p(z)$$ разлагается в поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ на множители
p(z)=a(zα1)(zα2)(zαn).

 Меру Малера можно рассматривать как вид функции высоты. Используя формулу Йенсена, можно показать, что эта мера эквивалентна среднему геометрическому |p(z)| для z на на единичной окружности (т.е. |z|=1):
M(p)=exp(12π02πln(|p(eiθ)|)dθ).

 В более широком смысле мера Малера алгебраического числа α определяется как мера Малера минимального многочлена от α над Q. В частности, если α является числом Пизо или , то мера Малера равна просто α.
 Мера Малера названа именем родившегося в Германии австралийского математика .

Свойства



  • Мера Малера является мультипликативной: p,q,M(pq)=M(p)M(q).
  • M(p)=limτ0pτ, где pτ=(12π02π|p(eiθ)|τdθ)1/τ является нормой Lτ многочлена p .
  • Если p является неприводимым нормированным (старший коэффициент = 1) целочисленным многочленом с M(p)=1, то либо p(z)=z, либо p является круговым многочленом.
  • Существует константа μ>1, такая, что если p является неприводимым целочисленным многочленом, то либо M(p)=1, либо M(p)>μ.
  • Мера Малера нормированного целого многочлена является .

Мера Малера от нескольких переменных


 Мера Малера M(p) многочлена с несколькими переменными p(x1,,xn)C[x1,,xn] определяется аналогичной формулой.
M(p)=exp(1(2π)n02π02π02πlog(|p(eiθ1,eiθ2,,eiθn)|)dθ1dθ2dθn).
Эта мера наследует все три свойства меры Малера для многочлена от одной переменной.
 Было показано, что в некоторых случаях мера Малера от нескольких переменных связана со специальными значениями дзета-функций и . Например, в 1981 Смит доказал формулы
m(1+x+y)=334πL(χ3,2)
где L(χ3,s) является L-функцией Дирихле,
m(1+x+y+z)=72π2ζ(3)
, где ζ является дзета-функцией Римана. Здесь m(P)=logM(P) называется логарифмической мерой Малера.

Некоторые результаты Лоутона и Бойда


 По определению, мера Малера рассматривается как интеграл многочлена по тору (см. также статью «»). Если p обращается в ноль на торе (S1)n, то сходимость интеграла, определяющего M(p), не очевидна, но известно, что M(p) сходится и равно пределу меры Малера от одной переменной, что было высказано в виде гипотезы .
 Пусть Z обозначает целые числа, определим Z+N={r=(r1,,rN)ZN:rj0 for 1jN} . Если Q(z1,,zN) является многочленом от N переменных и r=(r1,,rN)Z+N, определим многочлен Qr(z) от одной переменной
Qr(z):=Q(zr1,,zrN)

 и определим q(r) формулой
q(r):=min{H(s):s=(s1,,sN)ZN,s(0,,0) and j=1Nsjrj=0}
,
 где $H(s)=\text{max}\{|
 '''Теорема (Лоутон)''' : Пусть Q(z_1,\dots,z_N)$ является многочленом от N переменных с комплексными коэффициентами. Тогда верен следующий предел (даже если условие ri0 ослаблено):
limq(r)M(Qr)=M(Q)

Предложение Бойда


 Бойд предложил более общее утверждение, чем вышеприведённая теорема. Он указал на то, что классическая , которая характеризует нормированные многочлены с целыми коэффициентами, корни которых лежат внутри единичного круга, можно рассматривать как описание многочленов одной переменной, мера которых в точности равна 1, и что этот результат можно распространить на многочлены нескольких переменных.
 Определим расширенный круговой многочлен как многочлен вида
Ψ(z)=z1b1znbnΦm(z1v1znvn),
где Φm(z) — круговой многочлен степени m, vi — целые числа, а bi=max(0,videgΦm) выбран минимальным, так что Ψ(z) является многочленом от zi. Пусть Kn — множество многочленов, являющихся произведением одночленов ±z1c1zncn и расширенного кругового многочлена.
Теорема (Бойд) : Пусть F(z1,,zn)Z[z1,,zn] является многочленом с целыми коэффициентами. M(F)=1 тогда и только тогда, когда F является элементом Kn.
 Это натолкнуло Бойда на мысль рассматривать множества значений
Ln:={m(P(z1,,zn)):PZ[z1,,zn]},
и объединение L=n=1Ln. Он выдвинул далеко идущую гипотезу, что множество L является замкнутым подмножеством R. Из верности этой гипотезы немедленно следует верность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку из результата Смита вытекает, что L1L2, Бойд позже высказал гипотезу, что
L1L2L3 .