Мера Малера

Мера Малера M(p) ' многочлена' p(z) с комплекснымикоэффициентами определяется как
 $$M(p) = |a|\prod_{|где p(z)$$ разлагается в поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ намножители
p(z)=a(zα1)(zα2)(zαn).

 Меру Малера можно рассматривать как вид функции высоты. Используяформулу Йенсена, можно показать, что эта мера эквивалентна среднемугеометрическому |p(z)| для z на на единичной окружности (т.е.|z|=1):
M(p)=exp(12π2π0ln(|p(eiθ)|)dθ).

 В более широком смысле мера Малера алгебраического числаα определяется как мера Малера минимального многочлена отα над Q. В частности, если α является числомПизо или , то мера Малера равна просто α.
 Мера Малера названа именем родившегося в Германии австралийскогоматематика .

Свойства



  • Мера Малера является мультипликативной: p,q,M(pq)=M(p)M(q).
  • M(p)=limτ0pτ, где pτ=(12π2π0|p(eiθ)|τdθ)1/τ является нормой Lτ многочлена p .
  • Если p является неприводимым нормированным (старший коэффициент = 1) целочисленным многочленом с M(p)=1, то либо p(z)=z, либо p является круговым многочленом.
  • Существует константа μ>1, такая, что если p является неприводимым целочисленным многочленом, то либо M(p)=1, либо M(p)>μ.
  • Мера Малера нормированного целого многочлена является .

Мера Малера от несколькихпеременных


 Мера Малера M(p) многочлена с несколькими переменнымиp(x1,,xn)C[x1,,xn] определяетсяаналогичной формулой.
M(p)=exp(1(2π)n2π02π02π0log(p(eiθ1,eiθ2,,eiθn))dθ1dθ2dθn).
Эта мера наследует все три свойства меры Малера для многочлена от однойпеременной.
 Было показано, что в некоторых случаях мера Малера от несколькихпеременных связана со специальными значениями дзета-функций и .Например, в 1981 Смит доказал формулы
m(1+x+y)=334πL(χ3,2)
где L(χ3,s)является L-функцией Дирихле,
m(1+x+y+z)=72π2ζ(3)
, где ζ являетсядзета-функцией Римана. Здесь m(P)=logM(P) называетсялогарифмической мерой Малера.

Некоторые результаты Лоутона иБойда


 По определению, мера Малера рассматривается как интеграл многочлена потору (см. также статью «»). Если p обращается в ноль на торе(S1)n, то сходимость интеграла, определяющего M(p), не очевидна,но известно, что M(p) сходится и равно пределу меры Малера от однойпеременной, что было высказано в виде гипотезы .
 Пусть Z обозначает целые числа, определимZN+={r=(r1,,rN)ZN:rj0 for 1jN}. Если Q(z1,,zN) является многочленом от N переменных иr=(r1,,rN)ZN+, определим многочлен Qr(z) отодной переменной
Qr(z):=Q(zr1,,zrN)

 и определим q(r) формулой
q(r):=min{H(s):s=(s1,,sN)ZN,s(0,,0) and j=1Nsjrj=0}
,
 где $H(s)=\text{max}\{|
 '''Теорема (Лоутон)''' : Пусть Q(z_1,\dots,z_N)$ являетсямногочленом от N переменных с комплексными коэффициентами. Тогдаверен следующий предел (даже если условие ri0 ослаблено):
limq(r)M(Qr)=M(Q)

ПредложениеБойда


 Бойд предложил более общее утверждение, чем вышеприведённая теорема. Онуказал на то, что классическая , которая характеризует нормированныемногочлены с целыми коэффициентами, корни которых лежат внутриединичного круга, можно рассматривать как описание многочленов однойпеременной, мера которых в точности равна 1, и что этот результат можнораспространить на многочлены нескольких переменных.
 Определим расширенный круговой многочлен как многочлен вида
Ψ(z)=zb11zbnnΦm(zv11zvnn),
где Φm(z) — круговой многочлен степени m, vi — целыечисла, а bi=max(0,videgΦm) выбран минимальным, так чтоΨ(z) является многочленом от zi. Пусть Kn — множествомногочленов, являющихся произведением одночленов±zc11zcnn и расширенного кругового многочлена.
Теорема (Бойд) : ПустьF(z1,,zn)Z[z1,,zn] является многочленом сцелыми коэффициентами. M(F)=1 тогда и только тогда, когда F являетсяэлементом Kn.
 Это натолкнуло Бойда на мысль рассматривать множества значений
Ln:={m(P(z1,,zn)):PZ[z1,,zn]},
и объединение L=n=1Ln. Он выдвинул далекоидущую гипотезу, что множество L является замкнутымподмножеством R. Из верности этой гипотезы немедленно следуетверность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку изрезультата Смита вытекает, что L1L2, Бойд позже высказалгипотезу, что
L1L2L3 .