Функция Мангольдта

Функция Мангольдта — арифметическая функция Λ(n), равная lnp, если n=pm — степень простого числа, в противном случае Λ(n)=0. Кратко:

Λ(n)={lnp, if n=pm0, if npm
  Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.

Свойства



  • Из определения следует, что


dnΛ(d)=lnn

  • С помощью формулы обращения Мёбиуса из предыдущей формулы получаем


Λ(n)=dnμ(d)lnnd=dnμ(d)lnd

Связь с распределением простых чисел



  • Связь с дзета-функцией Римана
    lnζ(s)=n=2Λ(n)nslnn, Res>1

  • ζ(s)ζ(s)=n=1Λ(n)ns, Res>1

  • Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:


lnL(s,χ)=n=2χ(n)Λ(n)nslnn, Res>1
L(s,χ)L(s,χ)=n=1χ(n)Λ(n)ns, Res>1

  • nxΛ(n)nlnx

  • nxΛ(n)nlnn=lnlnx+γ+O(eclnx),
    где γ — постоянная Эйлера
  • Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта


ψ(x)=nxΛ(n)

  • Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт


ζ(s)ζ(s)=sn=1ψ(x)x1+sdx, Res>1