Арифметическая комбинаторика

Арифметическая комбинаторика — раздел математики, возникший на стыке теории чисел, комбинаторики, эргодической теории и гармонического анализа.
 Пусть N — множество натуральных чисел, E — чётных, P — простых, а S — множество всех квадратов натуральных чисел.
 Знаменитую теорему Лагранжа можно компактно сформулировать как равенство S+S+S+S=N, а не менее знаменитую гипотезу Гольдбаха — как P+PE. Изучением поведения подмножеств целых чисел (а также более сложных алгебраических структур) относительно имеющихся операций занимается (в тесном сотрудничестве с традиционной теорией чисел) арифметическая комбинаторика.
Аддитивная комбинаторика относится к специальному случаю арифметической комбинаторики, когда во внимание берутся только операции сложения и вычитания.
 Изучаемые множества могут быть подмножествами алгебраических структур, отличных от целых чисел, например, групп, колец или полей.
 Арифметическая комбинаторика объясняется в рецензии Грина на книгу «Аддитивная комбинаторика» Тао и Ву.

Пример задачи


 Пусть A — множество, содержащее n целых чисел, каков будет размер множества сумм

A+A:={x+y:x,yA},
  множества разностей (не путать с разностью множеств)

AA:={xy:x,yA},
  или множества произведений (не путать с произведением множеств)

A×A:={xy:x,yA}
  Как связаны размеры этих множеств?