Постоянная Хинчина

Постоянная Хинчина — вещественная константаK02,685452, равная среднему геометрическому элементовразложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.
 Постоянная Хинчина названа в честь Александра Яковлевича Хинчина,обнаружившего и доказавшего этот факт в 1935 году. Обозначение K0 илиK соответствует первой букве транслитерации фамилии «Хинчин» вевропейских языках.

Определение


 Для почти любого вещественного числа x элементы ai его разложения вцепную дробь имеют конечное среднее геометрическое, не зависящее от x.
 Иными словами, если

x=a0+1a1+1a2+1a3+1,
 где a0 целое, а остальные ai натуральные, то для почти всех xвыполняется

limn(a1a2...an)1/n=K0=2,6854520010.
 При этом константу K0 можно выразить в виде бесконечного произведения

K0=r=1(1+1r(r+2))log2r.

Значимость


 Разложение в цепную дробь любого вещественного числа — этопоследовательность натуральных чисел, и любая последовательностьнатуральных чисел является разложением в цепную дробь какого-либовещественного числа, лежащего между 0 и 1. Тем не менее, если каким-либообразом случайно выбирать элементы последовательности натуральных чисел,то среднее геометрическое элементов, вообще говоря, совершенноне обязательно будет одним и тем же для всех или почти всех получаемыхпоследовательностей. Поэтому существование постоянной Хинчина — тообстоятельство, что среднее геометрическое элементов разложения в цепнуюдробь оказывается одним и тем же для почти всех вещественных чисел, —это фундаментальное утверждение о вещественных числах и их разложениях вцепную дробь, изящный и глубокий результат, один из самых поразительныхфактов в математике.

Схемадоказательства


 Здесь приводится доказательство , которое проще доказательства Хинчина,не использовавшего эргодическую теорию.
 Поскольку первый элемент a0 разложения числа x в цепную дробь неиграет никакой роли в доказываемом утверждении и поскольку мера Лебегарациональных чисел равна нулю, то мы можем ограничиться рассмотрениемиррациональных чисел на отрезке (0,1), то есть множествомI=[0,1]\Q. Эти числа имеют взаимно-однозначное соответствие сцепными дробями вида [0;a1,a2,a3]. Введём отображение ГауссаT:II:

T([0;a1,a2,])=[0;a2,a3,].
 Для каждого борелева подмножества E множества I также определим меруГаусса — Кузьмина:

μ(E)=1ln2Edx1+x.
 Тогда μ — вероятностная мера на сигма-алгебре Борелевыхподмножеств I. Мера μ эквивалентна мере Лебега на I, но обладаетдополнительным свойством: преобразование T сохраняет меру μ. Болеетого, можно показать, что T — эргодическое преобразование измеримогопространства I, снабжённого мерой μ (это самый трудный момент вдоказательстве). Тогда эргодическая теорема говорит, что для любойμ-интегрируемой функции f на I среднее значениеf(Tkx) — одно и то же почти для всех x:

limn1nk=0n1(fTk)(x)=Ifdμдля почти всех xI по мере μ.
 Выбирая функцию f([0;a1,a2,])=lna1, получаем:

limn1nk=1nln(ak)=Ifdμ=r=1lnrln(1+1r(r+2))ln2
 для почти всех [0;a1,a2,] из I.
 Беря экспоненту от обеих частей равенства, получаем слева среднеегеометрическое первых n элементов цепной дроби при n, асправа — постоянную Хинчина.

Разложение вряд


 Постоянная Хинчина может быть представлена в виде ряда:

 \{ln K\_0 = \{frac\{1\}\{\{ln2\} \{sum\_\{n=1\}\^\{infty
 \{frac \{\{zeta (2n)-1\}\{n\}\{sum\_\{k=1\}\^\{2n-1\}\{frac\{(-1)\^\{k+1\}\}\{k\} , или, разделяя члены ряда,

 \{ln K\_0 = \{frac\{1\}\{\{ln2\} \{left[
 -\{sum\_\{k=2\}\^N \{ln\{left(\{frac\{k-1\}\{k\}\{right) \{ln\{left(\{frac\{k+1\}\{k\}\{right) +\{sum\_\{n=1\}\^\{infty\{frac \{\{zeta (2n,N)\}\{n\}\{sum\_\{k=1\}\^\{2n-1\}\{frac\{(-1)\^\{k+1\}\}\{k\} \{right] ,где N — некоторое фиксированное целое число, ζ(s,q) —дзета-функция Гурвица. Оба ряда быстро сходятся, потому что ζ(n)1быстро приближается к нулю с ростом n. Можно также дать разложениечерез дилогарифм:

 \{ln K\_0 = \{ln 2 +\{frac\{1\}\{\{ln 2\}\{left[
 \{mathrm\{Li\}\_2 \{left(\{frac\{-1\}\{2\} \{right) +\{frac\{1\}\{2\}\{sum\_\{k=2\}\^\{infty(-1)\^k \{mathrm\{Li\}\_2 \{left(\{frac\{4\}\{k\^2\} \{right)\{right].

Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробьразличныхчисел


 Файл:Geometric means of continued fractions to Khinchinconstant.svg320pxthumbСредниегеометрические от первых n элементов разложения в цепную дробьразличных чисел в зависимости от n. Зелёный график соответствует числуsin1 — похоже, что он сходится к постоянной Хинчина, но это недоказано. Жёлтый график соответствует описанному в тексте числу,специально построенному так, чтобы график сходился к постоянной Хинчина.Красный и синий графики соответствуют числу e и числу31, соответственно; они не сходятся к постояннойХинчина.статистика Гаусса — Кузьмина.
 К числам x, про которые известно, что среднее геометрическое элементових разложения в цепную дробь не равняется постоянной Хинчина, относятсярациональные числа, квадратичные иррациональности (корни всевозможныхквадратных уравнений с целыми коэффициентами) и основание натуральногологарифма e. Хотя рациональных чисел и квадратичных иррациональностейбесконечно много, но они образуют множество меры ноль, и потому ихне нужно включать в «почти все» числа из определения постоянной Хинчина.
 Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь некоторыхчисел, похоже (исходя из непосредственных вычислений средних для большихn), сходится к постоянной Хинчина, хотя ни в одном из этих случаевравенство в пределе не доказано. В частности, к этим числам относятсячисло π, постоянная Эйлера — Маскерони, число sin1,23, сама постоянная Хинчина. Последнее обстоятельствопозволяет предположить, что постоянная Хинчина иррациональна, но точнонеизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональным, алгебраическимили трансцендентным числом.

Средниестепенные


 Можно рассматривать постоянную Хинчина как частный случай среднегостепенного элементов разложения чисел в цепную дробь. Для любойпоследовательности {an} среднее степени p равняется

 K\_p=\{lim\_\{n\{to\{infty\}\{left[\{frac\{1\}\{n\}
 \{sum\_\{k=1\}\^n a\_k\^p\{right]\^\{1/p\}.
 Если {an} — элементы разложения числа x в цепную дробь, тоKp для любого p<1 и почти всех x даются формулой

 K\_p=\{left[\{sum\_\{k=1\}\^\{infty-k\^p
 \{log\_2\{left(1-\{frac\{1\}\{(k+1)\^2\} \{right)\{right]\^\{1/p\}.
 Она получается вычислением соответствующего степенного среднего постатистике Гаусса — Кузьмина и соответствует выбору функцииf([0;a1,a2,])=a1p в вышеизложенном доказательстве. Можнопоказать, что значение K0 получается в пределе p0.
 В частности, можно получить среднее гармоническое элементов разложения вцепную дробь. Это число равно

K1=1,74540566240 .