Функция Минковского

Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция ?(x) на отрезке [0,1], обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида (a+b), где a и b рациональные) на отрезке [0,1] в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.

Построение


 Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентными способами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика с помощью последовательных итераций.

Задание с помощью дерева Штерна — Броко


 В концах отрезка функция Минковского задаётся как ?(0)=0 и ?(1)=1. После этого, для любых двух рациональных чисел ab и cd, для которых adbc=1 — иными словами, для любых двух последовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медианте a+cb+d определяется как среднее арифметическое значений в этих точках:

?(a+cb+d)=12(?(ab)+?(cd)).
  Так,

?(12)=?(0)+?(1)2=12,
?(13)=?(0)+?(1/2)2=14,
?(23)=?(1/2)+?(1)2=34
  и так далее.
 Поскольку последовательности

01,11,
01,12,11,
01,13,12,23,11,
  в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждыми соседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении все рациональные числа отрезка [0,1] (см. дерево Штерна — Броко) — такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всех рациональных точках [0,1]. Более того, как несложно видеть, множеством её значений в этих точках оказываются в точности все двоично-рациональные числа [0,1] — иными словами, плотное в [0,1] множество. Поэтому построенная функция по монотонности однозначно продолжается до непрерывной функции ?:[0,1][0,1] — и это и есть функция Минковского.

Задание с помощью цепной дроби


 Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение в цепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно, точку x[0,1], раскладывающуюся в цепную дробь как x=[0;a1,a2,], функция Минковского переводит в

?(x)=k=1(1)k12a1++ak1.
  Иными словами, точка

x=1a1+1a2+1a3+
  переходит в точку

?(x)=0,00a1111a200a311a4(2).

Самоподобие


 Пусть точка x[0,1] задаётся цепной дробью x=[0;a1,a2,]. Тогда увеличение a1 на единицу, то есть, переход к y=[0;a1+1,a2,] задаётся отображением

f:xy=11+1x=x1+x,
  а функция Минковского после такого преобразования делится (как это следует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:

?(x1+x)=?(x)2.(1)
  С другой стороны, из симметрии относительно 1/2 медиантной конструкции легко видеть, что

?(1x)=1?(x).(2)
  Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображения g(x)=1f(1x)=11x2x=12x, функция Минковского преобразуется как

?(12x)=1+?(x)2.
  Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым из преобразований

F(x,t)=(x1+x,t2),G(x,t)=(12x,1+t2).(3)
  Более того, объединение их образов — это в точности весь исходный график, поскольку образ F — это часть графика над отрезком [0,1/2], а образ G — график над отрезком [1/2,1].

Построение графика как фрактала


 График функции Минковского может быть построен как предельное множество для . А именно, отображения F и G, заданные формулами (3), сохраняют график функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя. Поэтому последовательность множеств Xn, определённая рекурсивно соотношениями

X0=[0,1]×[0,1],Xn+1=F(Xn)G(Xn),
  — это убывающая по вложению последовательность множеств, причём график Γ={(x,?(x))x[0,1]} функции Минковского содержится в любом из них.
 Несложно увидеть, что Xn является объединением прямоугольников высоты 1/2n, поэтому предельное множество

X=nXn
  является графиком некоторой функции. Поскольку ΓX, то они совпадают. Поэтому график функции Минковского — это предельное множество системы итерируемых функций

F,G:[0,1]2[0,1]2.

Свойства



  • Функция Минковского сингулярна, то есть в почти любой (по мере Лебега) точке x[0,1] её производная существует и равна нулю. Тем самым, мера на [0,1], функцией распределения которой является функция Минковского (продолженная нулём на отрицательные числа и единицей на большие единицы), сингулярна.
  • Функция Минковского взаимно однозначно переводит рациональные числа на отрезке [0,1] в двоично-рациональные числа на том же отрезке.
  • Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке [0,1] в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число x является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа — иными словами, рациональности ?(x).
  • График функции Минковского переводится в себя отображениями F и G, заданными (3), а, следовательно, и их композициями.