Положив
x равным
xμ,
разложение степенной функции примет вид
(1+xμ)μ=1+x1+(1−μ)xμ2+(1+μ)xμ3+(2+μ)xμ…+(n−μ)xμ2+(n+μ)xμ2n+1+…
Устремив
μ к
∞ получим следующее разложение
ex=1+x1−x2+x3−2x…−nx2+nx2n+1+…
которое, как всегда, сходится при
x∈(−1,+∞). Упростив разложение полученнное выше, придем к известному выражению, полученному еще Эйлером
ex=1+2x2−x+x26+x210+x2…+x22(2n+1)+…
В качестве примера вычислим значение
e.
e=e1=1+21+16+110+1…+12(2n+1)+…≈2,7182818…
Подходящие дроби будут
1,3,197,19371,27211001,…