ПОИВС | Разложение показательной функции

Положив

x

равным

\frac{x}{μ}

{(1 + \frac{x}{μ})}^{μ} = 1 + \frac{x}{1 + \frac{\frac{(1 - μ) x}{μ}}{2 + \frac{\frac{(1 + μ) x}{μ}}{3 + \frac{\frac{(2 + μ) x}{μ}}{\dots + \frac{\frac{(n - μ) x}{μ}}{2 + \frac{\frac{(n + μ) x}{μ}}{2 n + 1 + \dots}}}}}}

Устремив

μ

\infty

получим следующее разложение

e^{x} = 1 + \frac{x}{1 - \frac{x}{2 + \frac{x}{3 - \frac{2 x}{\dots - \frac{n x}{2 + \frac{n x}{2 n + 1 + \dots}}}}}}

которое, как всегда, сходится при

x \in (- 1, + \infty)

. Упростив разложение полученнное выше, придем к известному выражению, полученному еще Эйлером

e^{x} = 1 + \frac{2 x}{2 - x + \frac{x^{2}}{6 + \frac{x^{2}}{10 + \frac{x^{2}}{\dots + \frac{x^{2}}{2 (2 n + 1) + \dots}}}}}

В качестве примера вычислим значение

e

e = e^{1} = 1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{6 + \frac{1}{10 + \frac{1}{\dots + \frac{1}{2 (2 n + 1) + \dots}}}}} \approx 2, 7182818 \dots

Подходящие дроби будут

1, 3, \frac{19}{7}, \frac{193}{71}, \frac{2721}{1001}, \dots