Разложение тангенса

 Дифференциальное уравнение для функции y=tanx имеет вид
dydx=1+y2
Положив y=x1+z, преобразуем исходное уравнение к виду
xdzdx+z+z2=x2,z(0)=0
Это частный случай основного дифференциального уравнения цепных дробей при
α=β=γ=1,α=β=1,δ=1,k=2.
Поэтому имеем
tanx=x1+z=x1x23x2x22n+1
Полученное разложение сходится при x(,+). В качестве примера вычислим значение tan1.
tan1=1113112n+11,557407
Подходящие дроби будут
1,32,149,9561,841540