Теорема Лагранжа

 Назовем квадратичной иррациональностью любой из действительных корней уравнения Ax2+Bx+C=0, где A,B,C – целые числа, или же любое число вида α+βn, где α и β – рациональные числа, n>1 - натуральное число, не являющееся точным квадратом. Теорема.(Лагранж, 1770). Квадратичные иррациональности, и только они, разлагаются в бесконечные периодические непрерывные дроби. Доказательство.

  1. Покажем, что если число представляется бесконечной периодической цепной дробью, то это квадратичная иррациональность. Пусть α=[a0;a1;a2;;ak; ak+1;ak+2;;ak+h¯]. Остатки такой цепной дроби удовлетворяют соотношению rk=rk+h. Пусть pkqk - подходяшая дробь к числу α. Тогда на основании теоремы 2 получим:
    pn+kqn+k=[a0;a1;a2;;an+k]=[a0;a1;a2;;an;rn]=rnpn1+pn2rnqn1+qn2.
    Если существует limnrn, то
    α=rkpk1+pk2rkqk1+qk2=rk+hpk+h1+pk+h2rk+hqk+h1+qk+h2=rkpk+h1+pk+h2rkqk+h1+qk+h2.
    То есть, rn удовлетворяет квадратному уравнению rkpk1+pk2rkqk1+qk2=rkpk+h1+pk+h2rkqk+h1+qk+h2, с целыми коэффициентами, и является квадратичной иррациональностью. А значит, в силу записанных выше формул, и α является квадратичной иррациональностью.
  2. Докажем обратное утверждение. Пусть число α удовлетворяет квадратному уравнению
    aα2+bα+c=0
    с целыми коэффициентами. Заменим α=rkpk1+pk2rkqk1+qk2 и получим квадратное уравнение
    Anrn2+Bnrn+Cn=0.(1)
    где An,Bn,Cn - целые числа определяемые формулами:
    An=apn12+bpn1qn1+cqn12,Bn=2apn1pn2+b(pn1qn2+qn1pn2)+2cqn1qn2,Cn=apn22+bpn2qn2+cqn22.(2)
    Отсюда, в частности следует, что Cn=An1. Вычислим дискриминант последнего уравнения
    D=Bn24AnCn=4a2pn12pn22+4c2qn12qn22++b2(pn1qn2+qn1pn2)2+2abpn1pn2(pn1qn2+qn1pn2)++2bcqn1qn2(pn1qn2+qn1pn2)+4acpn1pn2qn1qn24a2pn12pn224c2qn12qn224b2pn1qn1pn2qn24abpn1pn2(pn1qn2+qn1pn2)4bcqn1qn2(pn1qn2+qn1pn2)4ac(pn12qn22+qn12pn22)==(b24ac)(pn1qn2qn1pn2)2=b24ac.
    То есть, дискриминант этого уравнения не зависит от n. Далее, так как
    |αpn1qn1|<1qn12,
    то
    pn1=αqn1+σn1qn1(|σn1|<1).
    Поэтому первая из формул (2) дает
    |An|=|a(αqn1+σn1qn1)2+b(αqn1+σn1qn1)qn1+cqn12|==|(aα2+bα+c)qn12+(2aα+b)σn1+aσn12qn12|==|(2aα+b)σn1+aσn12qn12|<2|aα|+|b|+|a|.
    Таким образом, несложно понять, что все коэффициенты An,Bn,Cn ограничены по абсолютной величине. Это значит, что величины An,Bn,Cn могут принимать лишь конечное число значений. Отсюда получаем, что при увеличении n от 1 до получается лишь конечное число уравнений (1). То есть, получается лишь конечное число различных rn. А это значит, что при надлежащем выборе k и h, имеет место rk=rk+h. Отсюда следует, что бесконечная непрерывная дробь, в которую разлагается число α периодична, что и требовалось доказать.