Многомерные цепные дроби

 Будем называть векторной (или многомерной) цепной дробью выражение вида:
a0+1a1+1a2+.(1)
Здесь a0,a1,a2, являются произвольными m-мерными векторами. Для большего удобства записи непрерывную дробь (1) иногда обозначают так: [a0;a1;a2;]. Если цепная дробь обрывается на некотором элементе an, то ее называют конечной или n-членной. В противном случае она называется бесконечной. Аналогично одномерному случаю вводится понятие подходящей дроби:
Sk=[a0;a1;;ak]=(pk,1qk,pk,2qk,,pk,mqk).
В конце девятнадцатого века Якоби заинтересовался обобщением теоремы Лагранжа на двумерный случай и в результате построил первые векторные дроби. Он разработал первый алгоритм, позволяющий разложить вектор в векторную цепную дробь. А Перрон в 1907 году в своей магистерской диссертации исследовал этот алгоритм. В их честь, он был назван алгоритмом Якоби-Перрона. Рассмотрим его. В нем обращение вектора выполняет по правилу Якоби:
1b=1(b1,b2,b3,,bm)=(1bm,b1bm,b2bm,,bm1bm).(2)
Обозначим через [b] вектор ([b1],[b2],[b3],,[bm]). Пусть мы раскладываем в цепную дробь вектор α=(α1,α2,α3,,αm)=r0. Тогда:

  1. Положить a0=[α] и n=0.
  2. Если [a0;a1;;an]=α, то КОНЕЦ, иначе rn+1=1rnan и n=n+1.
  3. Положить an=[rn] и перейти на шаг 2.
Для подходящих дробей, в свою очередь, справедливы соотношения, аналогичные одномерному случаю:
pk,1=ak,mpk1,1+ak,m1pk2,1++ak,1pkm,1+pkm1,1,pk,2=ak,mpk1,2+ak,m1pk2,2++ak,1pkm,2+pkm1,2,pk,m=ak,mpk1,m+ak,m1pk2,m++ak,1pkm,m+pkm1,m,qk=ak,mqk1+ak,m1qk2++ak,1qkm+qkm1.(3)
при начальных условиях q0=1,p0,j=[αj] и qs=0,ps,j=δs,j. В качестве примера разложим в непрерывную дробь вектор (43,23).

  1. Имеем r0=(43,23). Тогда a0=(1,1).
  2. r1=1(431,231)=(1231,431231). Тогда a1=(3,2).
  3. r2=1(12313,4312312)=1(4323231,(23)2223+1231)=1(4323231,231)= =(1231,4323(231)2). И a2=(3,3).
  4. r3=1(12313,4323(231)23)=1(4323231,23(23)2+3231(231)2)=1(4323231,231)= =(1231,4323(231)2). a3=(3,3).
Отсюда можно заключить, что данное разложение периодическое, с длиной периода 1. Вот несколько первых подходящих дробей: (1,1), (53,43), (1912,1512), (7846,5846).