Аппроксимация Паде

Аппроксимация Паде — классический метод рациональнойаппроксимации аналитических функций, названный по имени французскогоматематика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в видеотношения двух полиномов, коэффициенты которых определяютсякоэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения

f(z)=c0+c1z+c2z2+
 с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбратькоэффициенты ai и bi и получить аппроксимант

a0+a1z++aLzLb0+b1z++bMzM.
 Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многимрезультатам и превратилось практически в фундаментальный методисследования.

История


 Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года (копиядиссертации хранится в библиотеке Корнеллского университета). В этойработе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу,уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.

Определение


 Пусть имеется разложение функции f(z) в степенной ряд Тейлора:

f(z)=i=0cizi,
 где ci — коэффициенты ряда.
 Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

[L/M]=a0+a1z++aLzLb0+b1z++bMzM,
 разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает сразложением функции f(z) до тех пор, пока это возможно. Функция такоговида имеет L+1 коэффициентов в числителе и M+1 — в знаменателе.Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя.

ТаблицаПаде


Обобщения



  • Многоточечные аппроксимации Паде
  • Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
  • Аппроксимация функции нескольких переменных
  • Матричные аппроксимации Паде
  • Аппроксимация Паде — Чебышёва
  • Аппроксимация Паде — Фурье

Численные методынахождения