Аппроксимация Паде

Аппроксимация Паде — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций, названный по имени французского математика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения

f(z)=c0+c1z+c2z2+
  с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты ai и bi и получить аппроксимант

a0+a1z++aLzLb0+b1z++bMzM.
  Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.

История


 Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года (копия диссертации хранится в библиотеке Корнеллского университета). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.

Определение


 Пусть имеется разложение функции f(z) в степенной ряд Тейлора:

f(z)=i=0cizi,
  где ci — коэффициенты ряда.
 Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

[L/M]=a0+a1z++aLzLb0+b1z++bMzM,
  разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции f(z) до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет L+1 коэффициентов в числителе и M+1 — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя.

Таблица Паде


Обобщения



  • Многоточечные аппроксимации Паде
  • Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
  • Аппроксимация функции нескольких переменных
  • Матричные аппроксимации Паде
  • Аппроксимация Паде — Чебышёва
  • Аппроксимация Паде — Фурье

Численные методы нахождения