Число Пелля

Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: 11,32,75,1712,4129,, то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.
 Обе последовательности, числа Пелля и сопутствующие числа Пелля, могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, похожего на формулы для чисел Фибоначчи, и обе последовательности чисел растут экспоненциально, пропорционально степени серебряного сечения 1+2.
 Кроме использования в цепной дроби приближений к квадратному корню из двух, числа Пелля могут быть использованы для поиска квадратных треугольных чисел и для решения некоторых комбинаторных задач перечисления.
 Последовательность чисел Пелля известна с древних времен. Как и уравнение Пелля, числа Пелля ошибочно приписаны Леонардом Эйлером Джону Пеллю. Числа Пелля — Люка названы в честь Эдуарда Люка, который изучал эти последовательности. И числа Пелля, и сопутствующие числа Пелля, являются частными случаями последовательностей Люка.

Числа Пелля


 Числа Пелля задаются линейным рекуррентным соотношением:

Pn={0,n=0;1,n=12Pn1+Pn2,n>1
  и являются частным случаем последовательности Люка.
 Первые несколько чисел Пелля

 , 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, \ldots .
  Числа Пелля можно выразить формулой

Pn=(1+2)n(12)n22.
  Для больших значений n член (1+2)n доминирует в этом выражении, так что числа Пелля примерно пропорциональны степеням серебряного сечения (1+2), аналогично тому, как числа Фибоначчи примерно пропорциональны степеням золотого сечения.
 Возможно и третье определение — в виде матричной формулы

(Pn+1PnPnPn1)=(2110)n.
  Многие тождества могут быть доказаны из этих определений, например тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи,

Pn+1Pn1Pn2=(1)n,
  как немедленное следствие матричной формулы (подставляя определители матриц слева и справа).

Приближение к квадратному корню из двух


 Файл:Pell octagons.svgthumb300pxРациональное приближение к правильным восьмиугольникам, с координатами из чисел Пеллярациональных приближений к квадратному корню из 2. Если два больших целых x и y дают решение уравнения Пелля

x22y2=±1,
  то их отношение xy дает близкое приближение к 2. Последовательность приближений этого вида

1,32,75,1712,4129,9970,
  где знаменатель каждой дроби — число Пелля, а числитель равен сумме числа Пелля и его предшественника в последовательности. Таким образом, приближения имеют вид Pn1+PnPn.
 Приближение

2577408
  этого типа было известно математикам Индии в третьем—четвертом столетии до нашей эры. Греческие математики пятого столетия до нашей эры также знали об этом приближении. Платон (Plato) ссылается на числители как рациональные диаметры. Во втором столетии нашей эры Теон Смирнский использовал термины сторона и диаметр для описания знаменателя и числителя этой последовательности.
 Эти приближения могут быть получены из цепной дроби 2:

2=1+12+12+12+12+12+.
  Конечная часть цепной дроби дает аппроксимацию в виде чисел Пелля. Например,

577408=1+12+12+12+12+12+12+12.
  Как писал Кнут (1994), факт аппроксимации числами Пелля 2 позволяет использовать их для рационального приближения к правильному восьмиугольнику с координатами вершин (±Pi,±Pi+1) и (±Pi+1,±Pi). Все вершины этого восьмиугольника одинаково удалены от центра и формируют почти одинаковые углы. Также точки (±(Pi+Pi1),0), (0,±(Pi+Pi1)) и (±Pi,±Pi) формируют восьмиугольник, у которого вершины почти одинаково удалены от центра и формируют одинаковые углы.

Простые и квадраты


Простым числом Пелля называется число Пелля, являющееся также простым. Несколько первых простых чисел Пелля

  2, 5, 29, 5741, \ldots
  Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелля Pn может быть простым только если n само просто.
 Имеется всего три числа Пелля, являющимися квадратами, кубами и другими более высокими степенями, — это 0, 1 и 169 = 132.
 Несмотря на то, что имеется столь мало квадратов и других степеней среди чисел Пелля, они имеют близкую связь с квадратными треугольными числами. Эти числа возникают из следующего тождества:

((Pk1+Pk)Pk)2=(Pk1+Pk)2((Pk1+Pk)2(1)k)2.
  Левая часть этого тождества даёт квадратное число, в то время как правая часть даёт треугольное число, так что в результате получим квадратное треугольное число.
 Сантана (Santana) и Диац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) доказали другое тождество, связывающее числа Пелля с квадратами, показав, что сумма чисел Пелля до P4n+1 всегда квадрат:

i=04n+1Pi=(r=0n2r(2n+12r))2=(P2n+P2n+1)2.
  Например, сумма чисел Пелля до P5, 0+1+2+5+12+29=49, является квадратом числа P2+P3=2+5=7.
 Числа P2n+P2n+1, образующие квадратные корни таких сумм,

  1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47 321, \ldots ,
  известны как простые числа Ньюмена — Шэнкса — Уильямса.

Пифагоровы тройки


 Если прямоугольный треугольник имеет стороны a, b, c (по теореме Пифагора a2+b2=c2), то (a,b,c) известны как пифагоровы тройки. Мартин (Martin) (1875) пишет, что числа Пелля могут быть использованы для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отличаются на единицу, что соответствует почти равнобедренному прямоугольному треугольнику. Каждая такая тройка имеет вид

(2PnPn+1,Pn+12Pn2,Pn+12+Pn2=P2n+1).
  Последовательность пифагоровых троек, полученного таким способом

  (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), \ldots.

Числа Пелля — Люка


Сопутствующие числа Пелля или числа Пелля — Люка определяются линейным рекуррентным соотношением:

Qn={2,n=02,n=12Qn1+Qn2,n>1
  То есть, первые два числа в последоваетльности равны 2, а все остальные формируются как сумма удвоенного предыдущего числа Пелля — Люка и предшествующего ему, или, что эквивалентно, сложением следующего числа Пелля и предыдущего числа. Так, сопровождающим для 82 является число 29, и 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.
 Сопутствующие числа Пелля образуют последовательность:

  2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, \ldots
  Сопутствующие числа Пелля можно выразить формулой:

Qn=(1+2)n+(12)n.
  Все эти числа чётны, каждое из них является удвоенным числителем в приближении рациональными числами к 2.

Вычисления и связи


 Следующая таблица даёт несколько первых степеней серебряного сечения δ=δS=1+2 и связанного с ним δ¯=12.
nHnPntt+1sabc
010
111121101
232896345
375495035212029
41712288289204119120169
54129168116821189697696985
69970980098016930405940605741

Триплеты Пифагора


 Равенство c2=a2+(a+1)2=2a2+2a+1 верно только при 2c2=4a2+4a+2, что превращается в 2P2=H2+1 при подстановке H=2a+1 and P=c. Тогда n-ым решением является an=H2n+112 и cn=P2n+1.
 Таблица выше показывает, что с точностью до порядка an и bn=an+1 равны HnHn+1 и 2PnPn+1 , в то время как cn=Hn+1Pn+Pn+1Hn.