Дерево Штерна Броко

Дерево Штерна — Броко — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.
 В каждом узле дерева Штерна — Броко (иногда также называемого деревом Фарея) стоит медианта m+mn+n дробей mn и mn, стоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так:
 Близким по построению к дереву Штерна — Броко является дерево Калкина — Уилфа, в котором дробь 11 является корнем, а все прочие узлы заполняются по следующему алгоритму: каждая вершина mn имеет двух потомков: левого mm+n и правого m+nn.

История


 В книге Р. Грэхема, Д. Кнута, О. Паташника Конкретная математика открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). Однако аналогичное построение в форме «дерева Калкина-Уилфа» было известно ещё древнегреческим математикам. Оно описано под именем «порождения всех отношений из отношения равенства как из матери и корня» в двух математических обзорах II в. н. э., принадлежащих Никомаху Герасскому и Теону Смирнскому. Теон сообщает, что эта конструкция была известна Эратосфену Киренскому — знаменитому учёному, жившему в III в. до н. э.

Свойства



  • Все дроби в деревьях Калкина — Уилфа и Штерна — Броко несократимы;
  • Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз.

 Для дерева Калкина — Уилфа эти свойства легко доказываются, если заметить, что каждому шагу по дереву в направлении к корню соответствует элементарный шаг вычитания меньшего числа из большего в алгоритме Евклида для поиска наибольшего общего делителя.
 Для дерева Штерна — Броко доказательство основано на следующей лемме: если $p_1/q_1

Система счисления Штерна — Броко


 Можно воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов «R» и «L» (дроби 1/1 соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение LRRL соответствует дроби 5/7.