Abc гипотеза

-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году и Джозефом Эстерле в 1988 году.
 Доказательство -гипотезы это одна из главных нерешенных проблем теории чисел.

Формулировка


 Для любого ε>0 существует постоянная K(ε), при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел a, b и c, таких, что a+b=c, выполняется неравенство:
max(|a|,|b|,|c|)K(ε)(rad(abc))1+ε
, где rad(abc) — радикал целого числа.

Замечания



  • Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа a, b и c. Тогда неравенство сводится к следующему:
    cK(ε)(rad(abc))1+ε
  • Условие ε>0 необходимо. Для любого K существует тройка взаимно простых чисел a,b,c=a+b таких, что c>Krad(abc). Например тройка вида a=1,b=223n1,c=223n, где K<3n1.

Доказательство гипотезы Била


 Из справедливости -гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших z, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней.

Доказательство гипотез Пиллаи и Каталана


 Из справедливости -гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Доказательство Мотидзуки


 В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу. В октябре того же года Веселин Димитров и Акшай Венкатеш обнаружили ошибку в доказательстве, Мотидзуки признал этот факт, но заявил, что данная ошибка не влияет на основные результаты, а также обещал в ближайшее время опубликовать исправленную версию, что позже и сделал; последний из серии исправленных документов был датирован декабрём 2013 года.
 Опубликовав доказательство, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Он публикует отчёты о ходе этой работы. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах.
 Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).