Processing math: 100%

Abc гипотеза

-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) —утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от другаматематиками Дэвидом Массером в 1985 году и Джозефом Эстерле в 1988году.
 Доказательство -гипотезы это одна из главных нерешенных проблем теориичисел.

Формулировка


 Для любого ε>0 существует постоянная K(ε), прикоторой для любых трёх взаимно простых целых чисел a, b и c,таких, что a+b=c, выполняется неравенство:
max(|a|,|b|,|c|)K(ε)(rad(abc))1+ε
,где rad(abc) — радикал целого числа.

Замечания



  • Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа a, b и c. Тогда неравенство сводится к следующему:
    cK(ε)(rad(abc))1+ε
  • Условие ε>0 необходимо. Для любого K существует тройка взаимно простых чисел a,b,c=a+b таких, что c>Krad(abc). Например тройка вида a=1,b=223n1,c=223n, где K<3n1.

Доказательство гипотезыБила


 Из справедливости -гипотезы следует справедливость гипотезы Била длядостаточно больших z, а из неё — справедливость великой теоремыФерма для достаточно больших степеней.

Доказательство гипотез Пиллаи иКаталана


 Из справедливости -гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а изнеё — справедливость гипотезы Каталана.

ДоказательствоМотидзуки


 В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзукизаявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу. В октябре того же годаВеселин Димитров и Акшай Венкатеш обнаружили ошибку в доказательстве,Мотидзуки признал этот факт, но заявил, что данная ошибка не влияет наосновные результаты, а также обещал в ближайшее время опубликоватьисправленную версию, что позже и сделал; последний из серии исправленныхдокументов был датирован декабрём 2013 года.
 Опубликовав доказательство, Мотидзуки отказался от всех предложенийлично рассказать сообществу о своих результатах, но несколькоматематиков взялись за самостоятельную проверку доказательства присодействии Мотидзуки. Он публикует отчёты о ходе этой работы. Начиная сконца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своихрезультатах.
 Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, неопровергнуто, но пока и не считается проверенным. Длительное пребываниедоказательства в этом неопределённом статусе необычно для математическихдоказательств (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которыесчитались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).