Формула суммирования Абеля

Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.

Формула


 Пусть an — последовательность действительных или комплексных чисел и f(x) — непрерывно дифференцируемая на луче [1,x) функция. Тогда

1nxanf(n)=A(x)f(x)1xA(u)f(u)du
  где

A(x):=0<nxan.
  Для доказательства представим обе части равенства как функции от x. Во-первых, заметим, что при x=1 равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых x обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом x левая часть имеет скачок axf(x), такой же скачок имеет функция A(x)f(x), а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех x1.
 Если частичные суммы ряда an ограничены, а limxf(x)=0, то предельным переходом можно получить следующее равенство
n=1anf(n)=1+A(u)f(u)du
 В общем случае,

x<nyanf(n)=A(y)f(y)A(x)f(x)xyA(u)f(u)du.

Примеры


Постоянная Эйлера-Маскерони


 Для an=1 и f(x)=1x, легко видеть, что A(x)=x, тогда

n=1x1n=xx+1xuu2du=xx+ln(x)1x{u}u2du
  перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для постоянной Эйлера-Маскерони:
 *: γ=11{u}u2du, где {t} — дробная часть числа t.

Представление дзета-функции Римана


 Для an=1 и f(x)=1xs, аналогично A(x)=x, тогда

11ns=s1uu1+sdu=s(1uu1+sdu1{u}u1+sdu)=1+1s1s1{u}u1+sdu.
  Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области (s)>0, поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что ζ(s) имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.
 Категория:Теория чисел