Суммы Рамануджана

Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров k и n, вида:

ck(n)=hcos(2πnhk)=hexp(2πnhik),
  где $h Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса k, то есть

ckk(n)=ck(n)ck(n),
  если (k,k)=1.
 Суммы ck(n) можно представить через функцию Мёбиуса μ:

ck(n)=d(k,n)μ(kd)d.
  Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо k, либо n. Так, например, ck(1)=1.

Применение сумм Рамануджана


 Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по ck(n). Верно и обратное.
 Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:

n=1ck(qn)nsf(n),k=1ck(qn)ksf(k),
  где f(n) — мультипликативная функция, q — целое число, s — в общем случае, комплексное.
 В простейшем случае, можно получить

k=1ck(qn)ks=σ1s(n)ζ(s),
  где ζ(s) — дзета-функция Римана, σk(n) — сумма k-х степеней делителей числа n.
 Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.