Аксиомы Пеано

Аксиомы Пеано — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
 Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.
 Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

О неполноте


 Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например теорема Гудстейна.

Формулировки


Словесная



  1. 0 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
  3. 0 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
  5. (Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 0 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая


 Математическая формулировка использует S(x), которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

  1. 0N;
  2. xNS(x)N;
  3. xN:(S(x)=0);
  4. (S(b)=aS(c)=a)b=c;
  5. P(0)n(P(n)P(S(n)))n\N(P(n)).

 Возможна и иная форма записи:

  1. 0N;
  2. S:NN{0};
  3. \existS1;
  4. 0MnN(nMS(n)M)NM.

 Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание P верно для n=0 (база индукции) и для любого n при допущении, что из верности P(n) следует верность и P(n+1) (индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n.
 Заметим, что иногда натуральный ряд начинают с единицы, а не с нуля, в этом случае в определениях выше 0 заменяется на 1.

Формализация арифметики


 Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

  1. x+0=x;
  2. x1+S(x2)=S(x1+x2);
  3. x0=0;
  4. x1S(x2)=x1x2+x1.

История


 Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» . В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд. Непротиворечивость арифметики Пеано в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала ϵ0. Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.