Композиция числа

 В теории чисел композицией, или разложением, натурального числа называется его представление в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых. Слагаемые, входящие в композицию, называют частями, а их количество — длиной композиции.
 В отличие от композиции, разбиение числа не учитывает порядок следования частей. Поэтому число разбиений числа никогда не превосходит числа композиций.
 При фиксированной длине композиций в них иногда также допускают нулевые части.

Примеры


 Существует 16 композиций числа 5:

  • 5=5;
  • 5=4+1;
  • 5=3+2;
  • 5=3+1+1;
  • 5=2+3;
  • 5=2+2+1;
  • 5=2+1+2;
  • 5=2+1+1+1;
  • 5=1+4;
  • 5=1+3+1;
  • 5=1+2+2;
  • 5=1+2+1+1;
  • 5=1+1+3;
  • 5=1+1+2+1;
  • 5=1+1+1+2;
  • 5=1+1+1+1+1.

Количество композиций


 В общем случае существует 2(n1) композиций числа n, из которых в точности (n1k1) имеют длину k.
 Если в композициях числа n длины k разрешить нулевые части, то количество таких композиций будет равно (n+k1k1), поскольку прибавление 1 к каждой части даёт композицию числа n + k уже без нулевых частей. Вопрос об общем количестве композиций числа n с возможными нулевыми частями лишён смысла, так как оно бесконечно.