Постоянная Апери

Постоянная Апери в математике — это вещественное число, обозначаемое ζ(3) (иногда ζ3), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

ζ(3)=k=11k3=113+123+133+143+.
  Численное значение постоянной Апери выражается бесконечной непериодической десятичной дробью

ζ(3)= 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 \ldots
  Она была названа в честь математика греческо-французского происхождения Роже Апери (1916—1994), который в 1978 году доказал, что ζ(3) является иррациональным числом — результат, известный как . Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.
 Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике


 В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная ζ(3), даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при N вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем N (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к 1/ζ(3).
 Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт 6ζ(3) (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы k). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями


 Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка

ζ(3)=12ψ(2)(1)
  и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора

  \{Gamma(1+\{varepsilon)
  = e\^\{-\{gamma\{varepsilon\} \{left[ 1 + \{tfrac\{1\}\{12\}\{pi\^2 \{varepsilon\^2 - \{tfrac\{1\}\{3\} \{zeta(3) \{varepsilon\^3 +O(\{varepsilon\^4) \{right] \{; , где в виде eγε факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера—Маскерони γ.
 Постоянная Апери также связана со значением трилогарифма Li3(z) (частный случай полилогарифма Lin(z)) при z=1,

ζ(3)=Li3(1).

Представления в виде рядов


 Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

  \{zeta(3) = \{tfrac\{4\}\{3\} \{sum\_\{k=1\}\^\{infty \{frac\{(-1)\^\{k-1\}\}\{k\^3\}
  = \{tfrac\{4\}\{3\} \{left( 1-\{frac\{1\}\{2\^3\} + \{frac\{1\}\{3\^3\} -\{frac\{1\}\{4\^3\} + \{cdots \{right) \{; ,

  \{zeta(3) = \{tfrac\{8\}\{7\} \{sum\_\{k=0\}\^\{infty \{frac\{1\}\{(2k+1)\^3\}
  = \{tfrac\{8\}\{7\} \{left( 1+\{frac\{1\}\{3\^3\} + \{frac\{1\}\{5\^3\} +\{frac\{1\}\{7\^3\} + \{cdots \{right) \{; .
 Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа Hk

ζ(3)=12k=1Hkk2,
  а также двукратная сумма

ζ(3)=12j=1k=11jk(j+k).
  Для доказательства иррациональности ζ(3) Роже Апери пользовался представлением

  \{zeta(3) = \{tfrac\{5\}\{2\} \{sum\_\{k=1\}\^\{infty (-1)\^\{k-1\} \{frac\{(k!)\^2\}\{k\^3 (2k)!\}

\{

tfrac\{5\}\{2\} \{sum\_\{k
 1\}\^\{infty \{frac\{(-1)\^\{k-1\}\}\{k\^3 \{binom\{2k\}\{k\}\} \{; ,
 где (2kk)=(2k)!k!2 — биномиальный коэффициент.
 В 1773 году Леонард Эйлер привёл представление в виде ряда (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах)

  \{zeta(3)=\{tfrac\{1\}\{7\} \{pi\^2
  \{left[ 1-4\{sum\_\{k=1\}\^\{infty \{frac \{\{zeta (2k)\} \{(2k+1)(2k+2) 2\^\{2k\}\} \{right] \{; ,
 в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как ζ(2k)=(1)k+1(2π)2kB2k/(2(2k)!), где B2k — числа Бернулли.
 Рамануджан даёт несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя (см. главу 14, уравнения 25.1 и 25.3 книги)

  \{zeta(3)=\{tfrac\{7\}\{180\}\{pi\^3 -2
  \{sum\_\{k=1\}\^\{infty \{frac\{1\}\{k\^3 (e\^\{2\{pi k\} -1)\}
 получил ряды другого типа

  \{zeta(3)= 14
  \{sum\_\{k=1\}\^\{infty \{frac\{1\}\{k\^3 \{sinh(\{pi k)\} -\{tfrac\{11\}\{2\} \{sum\_\{k=1\}\^\{infty \{frac\{1\}\{k\^3 (e\^\{2\{pi k\} -1)\} -\{tfrac\{7\}\{2\} \{sum\_\{k=1\}\^\{infty \{frac\{1\}\{k\^3 (e\^\{2\{pi k\} +1)\} \{; ,
 а также аналогичные представления для других постоянных ζ(2n+1).
 Были также получены другие представления в виде рядов, включая

  \{zeta(3) = \{tfrac\{1\}\{4\} \{sum\_\{k=1\}\^\{infty (-1)\^\{k-1\}
  \{frac\{(56k\^2-32k+5)(k-1)!\^3\}\{(2k-1)\^2(3k)!\}

ζ(3)=8787k=1(1)k25+12kk(3+9k+148k2432k32688k4+7168k5)k!3(1+2k)!6(1+2k)3(3k)!(1+4k)!3

ζ(3)=164k=0(1)k(205k2+250k+77)k!10(2k+1)!5


ζ(3)=124k=0(1)k((2k+1)!(2k)!k!)3(126392k5+412708k4+531578k3+336367k2+104000k+12463)(3k+2)!(4k+3)!3
  Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.
 Дэвид Бродхёрст (D. J. Broadhurst) получил представление в виде ряда, которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Представления в виде интегралов


 Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа
ζ(3)=120x2ex1dx=230x2ex+1dx
или

ζ(3)=01ln(x)ln(1x)xdx
  следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана, до достаточно сложных, таких, как


  \{zeta(3)=\{pi\{!\{!\{int\{limits\_\{0\}\^\{\{infty\} \{! \{frac\{\{cos(2\{,\{mathrm\{arctg\}\{,x)\}\{\{left(x\^2+1\{right)\{big[\{mathrm\{ch\}\{big(\{frac\{1\}\{2\}\{pi x\{big)\{big]\^2\}\{, dx\{qquad (Иоган Йенсен),


  \{zeta(3) =-\{frac\{1\}\{2\}\{int\{limits\_0\^1 \{!\{!\{int\{limits\_0\^1 \{frac\{\{ln(xy)\}\{\{,1-xy\{,\}\{, dx \{, dy\{qquad ,


  \{zeta(3) =\{,\{frac\{8\{pi\^2\}\{7\}\{!\{!\{int\{limits\_0\^1 \{! \{frac\{x\{left(x\^4-4x\^2+1\{right)\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{\{,(1+x\^2)\^4\{,\}\{, dx \{qquad
  (Ярослав Благушин). Также связь постоянной Апери с производными гамма-функции (см. упр. 30.10.1):


  \{zeta(3) = -\{frac\{1\}\{2\}\{Gamma'(1)+\{frac\{3\}\{2\}\{Gamma'(1)\{Gamma(1)- [\{Gamma'(1)]\^3 = -\{frac\{1\}\{2\} \{, \{psi\^\{(2)\}(1)\{qquad позволяет вывести большое количество интегральных представлений через известные интегральные формулы для гамма-функции.

Вычисление десятичных цифр


 Число известных значащих цифр постоянной Апери ζ(3) значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов.
ДатаКоличество значащих цифрАвторы вычисления
173516Леонард Эйлер
188732Томас Иоаннес Стилтьес
1996Greg J. Fee \Simon Plouffe
1997Bruno Haible \Thomas Papanikolaou
1997, майPatrick Demichel
1998, февральSebastian Wedeniwski
1998, мартSebastian Wedeniwski
1998, июльSebastian Wedeniwski
1998, декабрьSebastian Wedeniwski
2001, сентябрьShigeru Kondo \Xavier Gourdon
2002, февральShigeru Kondo \Xavier Gourdon
2003, февральPatrick Demichel \Xavier Gourdon
2006, апрельShigeru Kondo \Steve Pagliarulo
2009, январьAlexander J. Yee \Raymond Chan
2009, мартAlexander J. Yee \Raymond Chan
2010, сентябрьAlexander J. Yee

Другие постоянные вида ζ(2n

+1)
 Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках ζ(2n+1) при n\textgreater1. В частности, в работах и Т. Ривола (Tanguy Rivoal) показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел ζ(2n+1), а также что по крайней мере одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), или ζ(11) является иррациональным.