Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Постоянная Апери

Постоянная Апери в математике — это вещественное число,обозначаемое ζ(3) (иногда ζ3), которое равно суммеобратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, являетсячастным значением дзета-функции Римана:

ζ(3)=k=11k3=113+123+133+143+.
 Численное значение постоянной Апери выражается бесконечнойнепериодической десятичной дробью

ζ(3)= 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449990 764 986 292 \ldots
 Она была названа в честь математика греческо-французского происхожденияРоже Апери (1916—1994), который в 1978 году доказал, что ζ(3) являетсяиррациональным числом — результат, известный как . Неизвестно,является ли постоянная Апери трансцендентным числом.
 Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 годуЛеонард Эйлер вычислил её с точностью до 16 значащих цифр(1,202056903159594).

Приложения в математике ифизике


 В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. Вчастности, величина, обратная ζ(3), даёт вероятность того, что любые трислучайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимнопросты — в том смысле, что при N вероятность того, что триположительных целых числа, меньших, чем N (и выбранныхслучайным образом) будут взаимно простыми, стремится к 1/ζ(3).
 Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики,включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитномумоменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат длядвухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт 6ζ(3)(здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутреннихпетель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а такжесоответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицыk). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другимифункциями


 Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второгопорядка

ζ(3)=12ψ(2)(1)
 и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора

  \{Gamma(1+\{varepsilon)
 = e\^\{-\{gamma\{varepsilon\}\{left[ 1 +\{tfrac\{1\}\{12\}\{pi\^2\{varepsilon\^2 - \{tfrac\{1\}\{3\}\{zeta(3) \{varepsilon\^3+O(\{varepsilon\^4) \{right]\{; , где в виде eγε факторизуютсявклады, содержащие постоянную Эйлера—Маскерони γ.
 Постоянная Апери также связана со значением трилогарифмаLi3(z) (частный случай полилогарифмаLin(z)) при z=1,

ζ(3)=Li3(1).

Представления в видерядов


 Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел,также выражаются через постоянную Апери:

 \{zeta(3) = \{tfrac\{4\}\{3\}\{sum\_\{k=1\}\^\{infty\{frac\{(-1)\^\{k-1\}\}\{k\^3\}
 = \{tfrac\{4\}\{3\} \{left(1-\{frac\{1\}\{2\^3\} +\{frac\{1\}\{3\^3\} -\{frac\{1\}\{4\^3\}+ \{cdots \{right) \{; ,

 \{zeta(3) = \{tfrac\{8\}\{7\}\{sum\_\{k=0\}\^\{infty\{frac\{1\}\{(2k+1)\^3\}
 = \{tfrac\{8\}\{7\} \{left(1+\{frac\{1\}\{3\^3\} +\{frac\{1\}\{5\^3\} +\{frac\{1\}\{7\^3\}+ \{cdots \{right) \{; .
 Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармоническиечисла Hk

ζ(3)=12k=1Hkk2,
 а также двукратная сумма

ζ(3)=12j=1k=11jk(j+k).
 Для доказательства иррациональности ζ(3) Роже Апери пользовалсяпредставлением

 \{zeta(3) = \{tfrac\{5\}\{2\}\{sum\_\{k=1\}\^\{infty (-1)\^\{k-1\}\{frac\{(k!)\^2\}\{k\^3 (2k)!\}

\{

tfrac\{5\}\{2\}\{sum\_\{k
 1\}\^\{infty\{frac\{(-1)\^\{k-1\}\}\{k\^3\{binom\{2k\}\{k\}\} \{; ,
 где (2kk)=(2k)!k!2 — биномиальныйкоэффициент.
 В 1773 году Леонард Эйлер привёл представление в виде ряда (котороевпоследствии было несколько раз заново открыто в других работах)

 \{zeta(3)=\{tfrac\{1\}\{7\}\{pi\^2
 \{left[1-4\{sum\_\{k=1\}\^\{infty\{frac \{\{zeta (2k)\} \{(2k+1)(2k+2)2\^\{2k\}\} \{right] \{; ,
 в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут бытьпредставлены какζ(2k)=(1)k+1(2π)2kB2k/(2(2k)!), гдеB2k — числа Бернулли.
 Рамануджан даёт несколько представлений в виде рядов, которыезамечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр накаждой итерации. Они включают в себя (см. главу 14, уравнения 25.1 и25.3 книги)

 \{zeta(3)=\{tfrac\{7\}\{180\}\{pi\^3-2
 \{sum\_\{k=1\}\^\{infty\{frac\{1\}\{k\^3 (e\^\{2\{pi k\} -1)\}
 получил ряды другого типа

 \{zeta(3)= 14
 \{sum\_\{k=1\}\^\{infty\{frac\{1\}\{k\^3\{sinh(\{pi k)\}-\{tfrac\{11\}\{2\}\{sum\_\{k=1\}\^\{infty\{frac\{1\}\{k\^3 (e\^\{2\{pi k\} -1)\}-\{tfrac\{7\}\{2\}\{sum\_\{k=1\}\^\{infty\{frac\{1\}\{k\^3 (e\^\{2\{pi k\} +1)\}\{; ,
 а также аналогичные представления для других постоянных ζ(2n+1).
 Были также получены другие представления в виде рядов, включая

 \{zeta(3) = \{tfrac\{1\}\{4\}\{sum\_\{k=1\}\^\{infty (-1)\^\{k-1\}
 \{frac\{(56k\^2-32k+5)(k-1)!\^3\}\{(2k-1)\^2(3k)!\}

ζ(3)=8787k=1(1)k25+12kk(3+9k+148k2432k32688k4+7168k5)k!3(1+2k)!6(1+2k)3(3k)!(1+4k)!3

ζ(3)=164k=0(1)k(205k2+250k+77)k!10(2k+1)!5


ζ(3)=124k=0(1)k((2k+1)!(2k)!k!)3(126392k5+412708k4+531578k3+336367k2+104000k+12463)(3k+2)!(4k+3)!3
 Некоторые из этих представлений были использованы для вычисленияпостоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.
 Дэвид Бродхёрст (D. J. Broadhurst) получил представление в видеряда, которое даёт возможность вычислить произвольный бит постояннойАпери.

Представления в видеинтегралов


 Существует также большое количество различных интегральных представленийдля постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа
ζ(3)=120x2ex1dx=230x2ex+1dx или

ζ(3)=10ln(x)ln(1x)xdx
 следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана,до достаточно сложных, таких, как


 \{zeta(3)=\{pi\{!\{!\{int\{limits\_\{0\}\^\{\{infty\}\{!\{frac\{\{cos(2\{,\{mathrm\{arctg\}\{,x)\}\{\{left(x\^2+1\{right)\{big[\{mathrm\{ch\}\{big(\{frac\{1\}\{2\}\{pix\{big)\{big]\^2\}\{,dx\{qquad (Иоган Йенсен),


 \{zeta(3)=-\{frac\{1\}\{2\}\{int\{limits\_0\^1\{!\{!\{int\{limits\_0\^1\{frac\{\{ln(xy)\}\{\{,1-xy\{,\}\{,dx \{, dy\{qquad ,


 \{zeta(3)=\{,\{frac\{8\{pi\^2\}\{7\}\{!\{!\{int\{limits\_0\^1\{!\{frac\{x\{left(x\^4-4x\^2+1\{right)\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{\{,(1+x\^2)\^4\{,\}\{,dx \{qquad
  (Ярослав Благушин). Также связь постоянной Апери с производнымигамма-функции (см. упр. 30.10.1):


 \{zeta(3) =-\{frac\{1\}\{2\}\{Gamma'(1)+\{frac\{3\}\{2\}\{Gamma'(1)\{Gamma(1)-[\{Gamma'(1)]\^3 = -\{frac\{1\}\{2\}\{, \{psi\^\{(2)\}(1)\{qquadпозволяет вывести большое количество интегральных представлений черезизвестные интегральные формулы для гамма-функции.

Вычисление десятичныхцифр


 Число известных значащих цифр постоянной Апери ζ(3) значительновыросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерныхмощностей, так и улучшению алгоритмов.
ДатаКоличество значащих цифрАвторы вычисления
173516Леонард Эйлер
188732Томас Иоаннес Стилтьес
1996Greg J. Fee \Simon Plouffe
1997Bruno Haible \Thomas Papanikolaou
1997, майPatrick Demichel
1998, февральSebastian Wedeniwski
1998, мартSebastian Wedeniwski
1998, июльSebastian Wedeniwski
1998, декабрьSebastian Wedeniwski
2001, сентябрьShigeru Kondo \Xavier Gourdon
2002, февральShigeru Kondo \Xavier Gourdon
2003, февральPatrick Demichel \Xavier Gourdon
2006, апрельShigeru Kondo \Steve Pagliarulo
2009, январьAlexander J. Yee \Raymond Chan
2009, мартAlexander J. Yee \Raymond Chan
2010, сентябрьAlexander J. Yee

Другие постоянные видаζ(2n

+1)
 Существует много исследований, посвящённых другим значениямдзета-функции Римана в нечётных точках ζ(2n+1) приn\textgreater1. В частности, в работах и Т. Ривола(Tanguy Rivoal) показано, что иррациональными являетсябесконечное множество чисел ζ(2n+1), а также что по крайней мереодно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), или ζ(11) является иррациональным.