Постоянная Каталана

Постоянная Каталана  — число, встречающееся в различных приложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всего обозначается буквой G, реже — K или C. Она может быть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

G=n=0(1)n(2n+1)2=112132+152172+
  Её численное значение приблизительно равно:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 \ldots
  Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.
 Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана .

Связь с другими функциями


 Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

G=β(2).
  Она также соответствует частному значению функции Клаузена, которая связана с мнимой частью дилогарифма

G=Cl2(π/2)=Im(Li2(eiπ/2))=Im(Li2(i)).
  Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случай полигамма-функции) дробных аргументов

ψ1(14)=π2+8G,


ψ1(34)=π28G,
  так что

G=116[ψ1(14)ψ1(34)].
  Симон Плуффе (Simon Plouffe) нашёл бесконечное множество тождеств между тригамма-функцией ψ1, π2 и постоянной Каталана G.
 Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значения G-функции Барнса и гамма-функции :

G=4πln(G(38)G(78)G(18)G(58))+4πln(Γ(38)Γ(18))+π2ln(1+22(22)).

Интегральные представления


 Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной Каталана G через интегралы от элементарных функций:

G=01lnt1+t2dt,


G=010111+x2y2dxdy,


G=120π/2tsintdt,


G=01arctanxxdx,


G=120xcoshxdx.
  Она также может быть представлена через интеграл от полного эллиптического интеграла первого рода K(x),

G=1201K(x)dx.

Быстро сходящиеся ряды


 Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобно использовать для численных вычислений:

G=π8ln(3+2)+38n=0(n!)2(2n)!(2n+1)2.
  и
 :\{ - G= 3n=0124n(12(8n+2)2+122(8n+3)2123(8n+5)2+123(8n+6)2124(8n+7)2+12(8n+1)2) - 2n=01212n(124(8n+2)2+126(8n+3)2129(8n+5)21210(8n+6)21212(8n+7)2+123(8n+1)2) \}
 Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было дано Сринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первой формулы и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второй формулы. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана были построены Е. А. Карацубой.

Вычисление десятичных цифр


 Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительно выросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов.
ДатаКоличество значащих цифрАвторы вычисления
186514Эжен Шарль Каталан
187720Джеймс Уитбред Ли Глейшер
191332Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990Greg J. Fee
1996Greg J. Fee
1996, 14 августаGreg J. Fee \Simon Plouffe
1996, 29 сентябряThomas Papanikolaou
1996Thomas Papanikolaou
1997Patrick Demichel
1998, 4 январяXavier Gourdon
2001Xavier Gourdon \Pascal Sebah
2002Xavier Gourdon \Pascal Sebah
2006, октябрьShigeru Kondo \Steve Pagliarulo
2008, августShigeru Kondo \Steve Pagliarulo
2009, 31 январяAlexander J. Yee \Raymond Chan
2009, 16 апреляAlexander J. Yee \Raymond Chan