Константа Ландау Рамануджана

 В математике Константа Ландау — Рамануджана является результатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел на числовой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау и Сринивасой Рамануджаном.

Теорема о плотности сумм двух квадратов


 Если N(x) число целых на отрезке [1,x], которые являются суммой двух квадратов целых чисел, то

N(x)=Cxln(x)(1+o(1)),
  где C — константа пропорциональности Ландау — Рамануджана

C=limxN(x)ln(x)x0,76422365358922066299069873125.

Точность приближения целого суммой двух квадратов


 Из теоремы Ландау — Рамануджана следует, что ошибка приближения целого числа суммой двух квадратов целых не менее ln(x)2C(1+o(1)). Известная сегодня (2013) тривиальная оценка ошибки такого приближения сверху существенно больше — O(x1/4). Со времен Эйлера существует гипотеза о том, что

minu,w\Z|xu2w2|xε,
  где ε>0,ε — любое, xx1(ε).
 Данная задача является обобщением проблемы Варинга.

Критерий возможности точного представления


 Число a представимо в виде s2+t2=a (s и t - целые) тогда и только тогда, когда все простые числа вида 4k+3 входят в каноническое разложение числа с чётной степенью.
 Этот результат впервые был получен Ферма, а доказан Эйлером.