Дигамма функция

 В математике дигамма-функция ψ(x) определяется как логарифмическая производная гамма-функции:

ψ(x)=ddxlnΓ(x)=Γ(x)Γ(x).
  Она является полигамма-функцией первого порядка, а полигамма-функции высших порядков (тригамма-функция и т.д.) получаются из неё дифференцированием.

Свойства



  • Дигамма-функция связана с гармоническими числами соотношением
    ψ(n)=Hn1γ,


  где Hn — n-е гармоническое число, а γ — постоянная Эйлера — Маскерони.

  • Формула дополнения
    ψ(1x)ψ(x)=πcot(πx)
  • Рекуррентное соотношение
    ψ(x+1)=ψ(x)+1x
  • Разложение в бесконечную сумму
    ψ(x)=ln(x)12x+n=1ζ(12n)x2n


  где ζ(x) — дзета-функция Римана.

  • Логарифмическое разложение
    ψ(x)=n=01n+1k=0n(1)k(nk)ln(x+k)
  • Теорема Гаусса
      $\frac{\Gamma'(p/q)}{\Gamma(p/q)} = -\gamma - \ln(2q) - \frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi p}{q}\right) + 2 \sum_{0

      при целых p,q с условием 0<p<q.

    • Для всех z1,2,3, справедливо разложения в ряд:
      ψ(z+1)=γ+n=1zn(n+z).