Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Египетские дроби

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарноразличных дробей вида 1n (так называемых аликвотныхдробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равныйединице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.
 Пример: 12+13+116.
 Египетская дробь представляет собой положительное рациональное числовида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше,может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждоеположительное рациональное число может быть представлено в видеегипетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов). Сумматакого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей,начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современнойматематике вместо египетских дробей используются простые и десятичныедроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел иистории математики.

История


ДревнийЕгипет



Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетскаясистема счисления, Математика в Древнем Египте.
 Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнемЕгипте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробяхявляется Математический папирус Ринда. Три более древних текста, вкоторых упоминаются египетские дроби — это Египетский математическийкожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличкаАхмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второгопереходного периода; он включает таблицу египетских дробей длярациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, ихрешения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
 Египтяне ставили иероглиф D21 (ер, «[один] из» или ре,рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а виератических текстах использовали линию. К примеру:
Например, так:D21:V1*V1*V1-V20*V20:V20*Z1=1331

 При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность иСредневековье


 Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции ивпоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря наимеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, КлавдийПтолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей посравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованиюегипетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде«Liber Abaci».
 Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные иобычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчииспользовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешаннымоснованием и запись в виде сумм дробей, часто использовались иегипетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода изобычных дробей в египетские.

АлгоритмФибоначчи


 Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби наегипетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современнойзаписи его алгоритм можно изложить следующим образом.
 1. Дробь mn разлагается на два слагаемых:

mn=1n/m+(n)modmnn/m.
 Здесь n/m — частное от деления n на m,округлённое до целого в большую сторону, а (n)modm —(положительный) остаток от деления -n на m.
 2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Изформулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем уисходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемоеи продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.
 Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даётискомое разложение. Пример:

715=13+215=13+18+1120
 Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самымкоротким. Пример его неудачного применения:

5121=125+1757+1763309+1873960180913+11527612795642093418846225,
 в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

5121=133+1121+1363.

Современная теориячисел


 Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных сегипетскими дробями.

  • В конце прошлого века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x/y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более



O(ylog2yloglogy)


  • Гипотеза Эрдёша — Грэма утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r \textgreater 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых, для которого



nS1n=1.

Открытыепроблемы


 Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешенныхматематических проблем.

  • Гипотеза Эрдёша — Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z, при которых


4n=1x+1y+1z.


 Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всехn ≤ 1014, но доказательство пока не найдено.Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительногоk существует N, при котором для всех nNсуществует разложение


kn=1x+1y+1z.


 Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю.