Египетские дроби

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида 1n (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.
 Пример: 12+13+116.
 Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

История


Древний Египет



Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.
  Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.
 Египтяне ставили иероглиф D21 (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:
Например, так:D21:V1*V1*V1-V20*V20:V20*Z1=1331

 При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье


 Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».
 Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи


 Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.
 1. Дробь mn разлагается на два слагаемых:

mn=1n/m+(n)modmnn/m.
  Здесь n/m — частное от деления n на m, округлённое до целого в большую сторону, а (n)modm — (положительный) остаток от деления -n на m.
 2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.
 Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

715=13+215=13+18+1120
  Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

5121=125+1757+1763309+1873960180913+11527612795642093418846225,
  в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

5121=133+1121+1363.

Современная теория чисел


 Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

  • В конце прошлого века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x/y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более



O(ylog2yloglogy)


  • Гипотеза Эрдёша — Грэма утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r \textgreater 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых, для которого



nS1n=1.

Открытые проблемы


 Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешенных математических проблем.

  • Гипотеза Эрдёша — Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z, при которых


4n=1x+1y+1z.


 Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N, при котором для всех nN существует разложение


kn=1x+1y+1z.


 Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю.