Гипотеза Эйлера

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа n>2 никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы (n1) n-х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:


  \{begin\{matrix\} a\^3+b\^3=c\^3 \{\{ a\^4+b\^4+c\^4=d\^4 \{\{ a\^5+b\^5+c\^5+d\^5=e\^5 \{\{ \{dots \{\{ \{sum\{limits\_\{k=1\}\^\{n-1\} a\_k\^n = a\_n\^n \{end\{matrix\} не имеют решения в натуральных числах.
 Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

Контрпримеры


 === n = 5 === В 1966 году Л. Ландер , Т. Паркин и Дж. Селфридж нашли первый контрпример для n = 5:

275+845+1105+1335=1445.
  === n = 4 ===
 В 1986 году нашёл контрпример для случая n = 4:

26824404+153656394+187967604=206156734.
  В 1988 году Роджер Фрай нашёл наименьший контрпример для n = 4:

958004+2175194+4145604=4224814.

Обобщения


 В 1966 году Л. Д. Ландер , Т. Р. Паркин и Дж. Селфридж высказали гипотезу, что если i=1naik=j=1mbjk, где aibj — положительные целые числа, i=1,n¯,j=1,m¯, то m+nk.
 В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если i=1naik=bk, то nk1.
 Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству i=1naik=j=1mbjk, где aibj, называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet и yoyo@home.