Экспонента Артина Хассе

 В математике экспонентой Артина — Хассе, названной в честь Эмиля Артина и Хельмута Хассе, называется степенной ряд вида

Ep(x)=exp(x+xpp+xp2p2+xp3p3+).

Мотивация


 В отличие от обычной экспоненты, коэффициенты разложения в ряд экспоненты Артина — Хассе являются p-целыми, другими словами, их знаменатели не делятся на p. Это следует из леммы Дворка (Dwork), утверждающей, что степенной ряд f(x) = 1 + \ldots с рациональными коэффициентами имеет p-целые коэффициенты тогда и только тогда, когда f(xp)/f(x)p ≡ 1 mod p.
 Используя обращение Мёбиуса Ep(x) можно переписать как бесконечное произведение


Ep(x)=(p,n)=1(1xn)μ(n)/n.

 Здесь μ — функция Мёбиуса.

Комбинаторная интерпретация


 Экспонента Артина — Хассе является производящей функцией вероятности того, что случайно выбранный элемент Sn (симметрическая группа с n элементами) имеет порядок степени p (это число обозначается как tn):

Ep(x)=n0tnn!xn
  Заметим, что это даёт ещё одно доказательство p-целостности коэффициентов, поскольку в конечной группе с порядком, делящемся на d, количество элементов с порядком, делящим d также делится на d.
 Давид Робертс (David Roberts) показал естественную комбинаторную связь между экспонентой Артина — Хассе и обычной экспонентой в свете эргодической теории, доказав, что экспонента Артина-Хассе является производящей функцией вероятности унипотентности элемента симметрической группы в характеристике p. Обычная экспонента дает вероятность элемента быть унипотентным в той же группе в характеристике 0.

Гипотезы


 В курсе PROMYS 2002-го года, Кит Конрад (Keith Conrad) высказал гипотезу, что коэффициенты Ep(x) равномерно распределены в p-адических числах относительно нормализованной меры Хаара, так как это соответствует проделанным им вычислениям. Эта гипотеза остаётся открытой.
 Динеш Такур (Dinesh Thakur) поставил проблему — является ли экспонента Артина-Хассе трансцендентной над Fp[x].
 Различные относительно простые свойства функции также не определены, включая вопрос, выполняется ли верное для обычной экспоненты функциональное равенство Ep(a)b=Ep(ab).