Экспонента Артина Хассе

 В математике экспонентой Артина — Хассе, названной в честьЭмиля Артина и Хельмута Хассе, называется степенной ряд вида

Ep(x)=exp(x+xpp+xp2p2+xp3p3+).

Мотивация


 В отличие от обычной экспоненты, коэффициенты разложения в рядэкспоненты Артина — Хассе являются p-целыми, другими словами,их знаменатели не делятся на p. Это следует из леммыДворка (Dwork), утверждающей, что степенной ряд f(x) =1 + \ldots с рациональными коэффициентами имеет p-целыекоэффициенты тогда и только тогда, когдаf(xp)/f(x)p≡ 1 mod p.
 Используя обращение Мёбиуса Ep(x) можно переписать как бесконечноепроизведение


Ep(x)=(p,n)=1(1xn)μ(n)/n.

 Здесь μ — функция Мёбиуса.

Комбинаторнаяинтерпретация


 Экспонента Артина — Хассе является производящей функцией вероятноститого, что случайно выбранный элемент Sn(симметрическая группа с n элементами) имеет порядок степениp (это число обозначается как tn):

Ep(x)=n0tnn!xn
 Заметим, что это даёт ещё одно доказательство p-целостностикоэффициентов, поскольку в конечной группе с порядком, делящемся наd, количество элементов с порядком, делящим d такжеделится на d.
 Давид Робертс (David Roberts) показал естественную комбинаторную связьмежду экспонентой Артина — Хассе и обычной экспонентой в светеэргодической теории, доказав, что экспонента Артина-Хассе являетсяпроизводящей функцией вероятности унипотентности элемента симметрическойгруппы в характеристике p. Обычная экспонента дает вероятностьэлемента быть унипотентным в той же группе в характеристике 0.

Гипотезы


 В курсе PROMYS 2002-го года, Кит Конрад (Keith Conrad) высказалгипотезу, что коэффициенты Ep(x) равномерно распределены вp-адических числах относительно нормализованной меры Хаара, так как этосоответствует проделанным им вычислениям. Эта гипотеза остаётсяоткрытой.
 Динеш Такур (Dinesh Thakur) поставил проблему — является ли экспонентаАртина-Хассе трансцендентной над Fp[x].
 Различные относительно простые свойства функции также не определены,включая вопрос, выполняется ли верное для обычной экспонентыфункциональное равенство Ep(a)b=Ep(ab).