Постоянная Глейшера Кинкелина

Постоянная Глейшера—Кинкелина в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана ζ(1),

A=exp(112ζ(1)).
  Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.
 Численное значение постоянной Глейшера—Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью:

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 \ldots
  Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и швейцарского математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913), которые рассматривали её в своих работах.

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса


 Для целых положительных значений аргумента K-функция может быть представлена как

K(n)=k=1n1kk
  Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых положительных значений аргумента может быть представлена как

G(n)=k=1n2k!=[Γ(n)]n1K(n)
  где Γ(n) — гамма-функция, Γ(n)=(n1)!.
 Постоянная Глейшера—Кинкелина A может быть определена как предел
A=limnK(n+1)nn2/2+n/2+1/12en2/4

 или, соответственно,
A=limn(2π)n/2nn2/21/12e3n2/4+1/12G(n+1)
.

Связь с дзета-функцией Римана


 Постоянная Глейшера—Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при некоторых целых значениях аргумента, в частности,
ζ(1)=112lnA

ζ(2)=k=2lnkk2=π26[γ+ln(2π)12lnA]

 где γ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы и суммы


 Постоянная Глейшера—Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах,
01/2lnΓ(x)dx=32lnA+524ln2+14lnπ
,
0xlnxe2πx1dx=12ζ(1)=12412lnA

 Также эта постоянная может быть представлена в виде суммы, которая следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе (Helmut Hasse),
lnA=1812n=01n+1k=0n(1)k(nk)(k+1)2ln(k+1)
,
 где (nk)=n!k!(nk)! — биномиальный коэффициент.