Гипервещественное число

Гипервещественные числа или гипердействительные числа — расширение поля вещественных чисел R, которое содержит числа, большие, чем все представимые в виде конечной суммы
1+1++1.

 Термин был введен Хьюиттом в 1948..

Формальное определение


 Система гипервещественных представляет собой строгий метод исчисления бесконечных и бесконечно малых величин. Множество гипервещественных чисел *R представляет собой упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел R, которое содержит числа, большие, чем все представимые в виде: 1+1++1. Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало.
 Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об R справедливы и для *R. Например, правило аддитивности х + у = у + х, справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955).
 Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления другие методы, в частности, метод исчерпывания. В 1960 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества, содержащего бесконечно малые и бесконечно большие величины в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.
 Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производной и интеграла напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, производная F(X) становится f(x)=st(f(x+Δx)f(x)Δx) для бесконечно малого Δx, где st(·) означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чисел


 Положим, что X является тихоновским пространством, которое также называется T3.5 пространством, а С (Х)-алгебра непрерывных вещественных функций на X. Пусть М есть максимальный идеал в С (Х). Тогда факторкольцо A = C (X) / М, является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрена как линейно упорядоченное множество. Если F строго содержит R, то М называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта,1948), а F — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля F больше, чем у поля R, они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.
 Важный частный случай — если пространство X является дискретным пространством, в этом случае X можно отождествить с мощностью множества κ и C(X) с вещественной алгеброй Rκ функций κ от R. Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются R и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.