Идеальный цифровой инвариант

Идеальный цифровой инвариант (ИЦИ, ) (известен также под именем число Мюнхаузена) — это натуральное число, равное , каждая цифра возводится в степень, равную этой цифре.
n=dkdk+dk1dk1++d2d2+d1d1.

 0 и 1 являются ИЦИ по любому основанию (при соглашении, что 00 = 0). Кроме 0 и 1, существует только два ИЦИ в десятичной системе, 3435 и 438579088 . Заметим, что второе из этих чисел является ИЦИ только при соглашении, что 00 = 0, но это стандартное соглашение в этой области.
33+44+33+55=27+256+27+3125=3435


44+33+88+55+77+99+00+88+88



=256+27+16777216+3125+823543+387420489+0+16777216+16777216=438579088

 Более обще, существует конечное число ИЦИ по любому основанию. Это можно доказать следующим образом:

  Пусть дано основание b. Любой ИЦИ n по основанию b равно сумме цифр и каждая цифра возведена в степень, равную этой цифре. Эта сумма меньше либо равна a(b1)b1, где a — число цифр в n, поскольку b1 является наибольшей возможной цифрой по основанию b. Тогда,
a(b1)b1nba1.

 Выражение a(b1)b1 растёт линейно от a, а выражение ba1 растёт экспоненциально от a. Так что существует некоторое число k>0, такое, что
 $$\forall a\geq k,\,\, a(b-1)^{b-1} Существует конечное число натуральных чисел n, имеющих менее k цифр, так что существует конечное число натуральных чисел n, удовлетворяющих первому неравенству. Таким образом, существует конечное число ИЦИ по основанию b.
  Ниже нижний индекс у числа показывает основание счисления.
 По всем основаниям 1 является ИЦИ.\\По основанию 3 существует 2 ИЦИ, а именно 123 и 223. (510 и 810)\\По основанию 4 существует 2 ИЦИ, а именно 1314 и 3134 (2910 и 5510)\\По основанию 6 существует 2 ИЦИ, а именно 223526 и 234526 (316410 и 341610)\\По основанию 7 существует 1 ИЦИ, а именно 134547 (366510)\\По основанию 9 существует 3 ИЦИ, а именно 319, 1562629 и 16565479 (2810, 9644610 и 92336210)\\ При соглашении 00=0 следующие числа являются ИЦИ
 По всем основаниям 0 является ИЦИ.\\По основанию 4 существует один дополнительный ИЦИ, а именно 1304 (2810)\\По основанию 5 существует 2 ИЦИ, а именно 1035 и 20245 (2810 и 26410)\\По основанию 8 существует 2 ИЦИ, а именно 4008 и 4018 (25610 и 25710)\\По основанию 9 существует 3 дополнительных ИЦИ, а именно 309, 16470639 и 346640849 (2710, 917.13910 и 16.871.32310)\\