Гипотеза Малера

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г. Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.

Формулировка


 Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномов P(x)=a0+a1x++anxn при значениях аргумента ω, являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированных n=1,2,. Назовем высотой полинома величину h(P)=max(|a0|,|a1|,,|an|) и предположим, что она возрастает. Обозначим wn(ω,H)=min|P(ω)|. Здесь минимум берется по всем целочисленным полиномам P степени не более n, высоты не более H и с условием P(ω)0. Обозначим wn(ω)=limH¯ln1wn(ω,H)lnHw(\omega) = \overline{\lim_H \to \infty\frac{1nw_n(\omega). Пусть ω — трансцендентное число. Введем обозначения: \Theta_n(\omega) = \frac{1nw_n(\omega) — для вещественных чисел, \eta_n(\omega) = \frac{1nw_n(\omega) — для комплексных чисел, Θ(ω)=sup(n)Θn(ω), где n=1,2,, η(ω)=sup(n)ηn(ω), где n=2,3,.
 Гипотеза Малера утверждает, что Θ(ω)=1, \eta(\omega) = \frac{12.

Доказательство


 Доказательство есть в статье.