Мера иррациональности

Мера иррациональности действительного числа α — это действительное число μ, показывающее, насколько хорошо α может быть приближено рациональными числами.

Определение


 Пусть α — действительное число, и пусть M(α) — множество всех чисел μ таких, что неравенство 0<|αpq|<1qμ имеет лишь конечное число решений в целых числах p и q>0:

M(α)={μ>0:(q0=q0(μ,α))(p,q\Z)q>q0|αpq|>1qμ\or|αpq|=0}.
  Тогда мера иррациональности μ(α) числа α определяется как точная нижняя грань M(α):

μ(α)=infM(α).
  Если M(α)=, то полагают μ(α)=+.
 Другими словами, μ — наименьшее число, такое, что для любого ε>0 для всех рациональных приближений pq с достаточно большим знаменателем верно, что |αpq|>1qμ+ε.

Возможные значения меры иррациональности



  • μ(α)=1 тогда и только тогда, когда α — рациональное число.
  • Если α — алгебраическое иррациональное число, то μ(α)=2.
  • Если α — трансцендентное число, то μ(α)2. В частности, если μ(α)=+, то число α называют лиувиллевым числом.

Связь с цепными дробями


 Если α=[a0;a1,a2,] — разложение числа α в цепную дробь, и pnqn — n-ая подходящая цепная дробь, то

μ(α)=1+lim supn+lnqn+1lnqn=2+lim supn+lnan+1lnqn.
  С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения φ=[1;1,1,], и тогда μ(φ)=2.

Теорема Туэ — Зигеля — Рота


 По лемме Дирихле, если α иррационально, то |αpq|<1q2, то есть μ(α)2. В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа α степени n можно подобрать константу c=c(α) такую, что |αpq|cqn. В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют . Она утверждает, что если α — алгебраическое иррациональное число, то μ(α)=2. Рот за её доказательство получил Филдсовскую премию.

Мера иррациональности некоторых трансцендентных чисел


 Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что μ(e)=2, а числа Лиувилля имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:

  • μ(e)=2
  • μ(π)7,6063
  • μ(π2)5,162857
  • μ(π3)4,6016
  • μ(ln2)3,57455391
  • μ(ζ(3))5,513891