Характер биквадратичного вычета

Характер биквадратичного вычета – теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.
 Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение


 Рассмотрим D=Z[i] – кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида α=a+bi, где a и b – целые числа.
 Пусть π - простое в кольце D, с нормой Nπ. Характер биквадратичного вычета определяется следующим образом:

  • (απ)4=0, если α делится на π.
  • (απ)4=1, если α не делится на π и Nπ=2.
  • Во всех остальных случаях (απ)4 - одно из значений {1, 1, i, i}, лежащее в классе вычетов α(Nπ1)/4modπ (такое значение однозначно определено).

Биквадратичный закон взаимности


 Назовём α, не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала ((1+i)3). При этом неединица α=a+bi примарна тогда и только тогда, когда a1(mod4), b0(mod4) или a3(mod4), b2(mod4).
 Пусть π и θ - взаимно простые примарные элементы в D, тогда \}\}

Другие свойства характера биквадратичного вычета



  • (απ)4=1 тогда и только тогда, когда сравнение x4αmodπ разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда α - биквадратичный вычет
  • Мультипликативность: (αβπ)4=(απ)4(βπ)4
  • Периодичность: если αβmodπ, то (απ)4=(βπ)4
  • Если π=a+bi - простое примарное, то (1π)4=(1)a12

Список литературы




 подзаголовок заглавие= Классическое введение в современную теорию чисел оригинал= автор= Айерлэнд К., Роузен М. год=1987 место= Москва издательство=Мир страницы= isbn= ссылка=http://www.ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm \}\}


 подзаголовок заглавие= Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein оригинал= ссылка= автор= Franz Lemmermeyer год=2000 место= Springer Verlag издательство= страницы= isbn=3-540-66957-4 \}\}
 Категория:Теория чисел