Число такси

n-ое число такси, обычно обозначаемое Ta(n) или Taxicab(n), определяется как наименьшее число, которое может быть представлено как сумма двух положительных кубов n различными способами. Наиболее известное число такси — 1729 = Ta(2) = 13 + 123 = 93 + 103.
 Название числа получили из разговора в 1919 математиков Г. Х. Харди и Сриниваса Рамануджана. Харди рассказывал:

Определение


 Концепция впервые была упомянута в 1657 Бернардом Френиклю и стала знаменитой в начале 20-го века благодаря Сринивасу Рамануджану. В 1938 Харди и Райт доказали, что такие числа существуют для всех положительных целых чисел n, и их доказательство легко превратить в программу для генерации таких чисел. Однако это доказательство не заботится о том, чтобы это число было ''минимальным , так что его нельзя использовать для поиска фактических значений Ta(n'').
 Ограничение на знак членов суммы необходимо, поскольку допущение отрицательных значений позволяет представить большее количество (и меньших) чисел выразить в виде суммы кубов n различными способами. Концепция была предложена как менее ограничивающая альтернатива. В известном смысле количество слагаемых (два) и степень (куб) также является существенным ограничением. позволяет иметь более двух слагаемых и использовать другие степени.

Известные числа такси


 Известны следующие шесть чисел такси :
Ta(1)=2=13+13

Ta(2)=1729=13+123=93+103

Ta(3)=87539319=1673+4363=2283+4233=2553+4143

Ta(4)=6963472309248=24213+190833=54363+189483=102003+180723=133223+166303

Ta(5)=48988659276962496=387873+3657573=1078393+3627533=2052923+3429523=2214243+3365883=2315183+3319543

Ta(6)=24153319581254312065344=5821623+289062063=30641733+288948033=85192813+286574873=162180683+270932083=174924963+265904523=182899223+262243663

История открытия


 Число Ta(2), известное также как число Харди –Рамануджана, первым опубликовал Бернард Френиклю в 1657.
 Джон Лич получил Ta(3) в 1957. Е. Розенталь, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенталь нашли Ta(4) в 1989 . Дж. А. Дардис нашёл Ta(5) в 1994 и подтвердил Дэвид В. Уилсон в 1999 . О числе Ta(6) объявид Уве Холлербах на сайте NMBRTHRY (Number Theory Wiki) 9 марта 2008 . Верхние границы для чисел Ta(7) — Ta(12) нашёл Христиан Бойер в 2006.

Числа такси без кубов


 Задача чисел такси с более строгими ограничениями, в которой требуется, чтобы числа не содержали кубы, то есть что числа не делились на кубы чисел, отличных от 13. Тогда число такси T записывается как T = x3 + y3, где числа x и y должны быть взаимно просты. Среди чисел такси Ta(n), перечисленных выше, только Ta(1) и Ta(2) не содержат кубов. Наименьшее число такси без кубов с тремя вариантами представления обнаружил (не опубликовано) в 1981, когда он был аспирантом. Эти числа

  15170835645

  = 5173 + 24683
 = 7093 + 24563
 = 17333 + 21523.

 Наименьшее число такси без кубов с тремя вариантами представления обнаружил Стюарт Гаскойн и, независимо, Дункан Мур в 2003. Это числа

  1801049058342701083

  = 922273 + 12165003
 = 1366353 + 12161023
 = 3419953 + 12076023
 = 6002593 + 11658843

 .