P адическое число

-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно -адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на .
 -адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году.
 Поле -адических чисел обычно обозначается Qp или Qp.

Алгебраическое построение


Целые -адические числа



agraphСтандартное определение
 Целым -адическим числом для заданного простого называется бесконечная последовательность x={x1,x2,} вычетов xn по модулю pn, удовлетворяющих условию:

xnxn+1(modpn).
  Сложение и умножение целых -адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых -адических чисел обычно обозначается Zp.

agraphОпределение через проективный предел
 В терминах проективных пределов кольцо целых p-адических чисел определяется как предел

limZ/pnZ
  колец Z/pnZ вычетов по модулю pn относительно естественных проекций Z/pn+1ZZ/pnZ.
 Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа p, но и любого составного числа m — получится т. н. кольцо m-адических чисел, но это кольцо в отличие от Zp обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

agraphСвойства
 Обычные целые числа вкладываются в Zp очевидным образом: x={x,x,} и являются подкольцом.
 Беря в качестве элемента класса вычетов число an=xnmodpn (таким образом, $0\le a_nканоническим. Записывая каждое an в an=bnb2b1 и, учитывая, что anan+1(modpn), возможно всякое -адическое число в каноническом виде представить в виде x={b1,b2b1,b3b2b1,} или записать в виде бесконечной последовательности цифр в -ичной системе счисления x={bnb2b1}. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в -ичной системе счисления.
 В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют -адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют -адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=\ldots4444=(4).

-адические числа



agraphОпределение как поля частных
 -адическим числом называется элемент поля частных Qp кольца Zp целых -адических чисел. Это поле называется полем -адических чисел.

agraphСвойства
 Поле -адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.
 Нетрудно доказать, что любое целое -адическое число некратное обратимо в кольце Zp, а кратное однозначно записывается в виде xpn, где не кратно и поэтому обратимо, а n>0. Поэтому любой ненулевой элемент поля Qp может быть записан в виде xpn, где не кратно , а любое; если отрицательно, то, исходя из представления целых -адических чисел в виде последовательности цифр в -ичной системе счисления, мы можем записать такое -адическое число в виде последовательности x={bkb2b1,b0b1bn+1}, то есть, формально представить в виде -ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение


 Любое рациональное число r можно представить как r=pnab где a и b целые числа, не делящиеся на p, а n — целое. Тогда |r|p — p-адическая норма r — определяется как pn. Если r=0, то |r|p=0.
 Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой dp, определённой p-адической нормой: dp(x,y)=|xy|p. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.
 Норма |r|p продолжается по непрерывности до нормы на Qp.

Свойства



  • Каждый элемент поля -адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда



x=i=n0aipi


  • -адическая норма |x|p удовлетворяет сильному неравенству треугольника



  x-z\_p\{le\{max\{\{


  • Метрическое пространство (Zp,dp) гомеоморфно канторову множеству, а пространство (Qp,dp) гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
  • Для различных нормы |x|p независимы, а поля Qp неизоморфны.
  • Для любых элементов r, r2, r3, r5, r7, \ldots таких, что rR и rpQp, можно найти последовательность рациональных чисел xn таких, что для любого выполнено |xirp|p0 и |xir|0.

Применения



  • Если F(x1,x2,,xn) — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех сравнения



F(x1,x2,,xn)0(modpk)


  На практике для проверки разрешимости уравнения в целых -адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений . Например, согласно , при n=1 достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных служит наличие простого решения у сравнения по модулю (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю ). Иначе говоря, при n=1 для проверки наличия корня у уравнения в целых -адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при k=1.

  • p-адические числа находят широкое применение в теоретической физике. Известны p-адические обобщённые функции , p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова), p-адическая квантовая механика, p-адическая спектральная теория , p-адическая теория струн