Полигамма функция

Полигамма-функция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,
ψ(m)(z)=dmdzmψ(z)=dm+1dzm+1lnΓ(z),

 где Γ(z) — гамма-функция, а
ψ(z)=ψ(0)(z)=Γ(z)Γ(z)

 — дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:
ψ(z)=ψ(0)(z)=γ+k=0(1k+11k+z),

 где γ — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комлексного z0,1,2,3, (в указанных точках функция ψ(z) имеет сингулярности первого порядка).
 Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда
ψ(m)(z)=(1)m+1m!k=01(z+k)m+1,m>0,

 который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комлексного z0,1,2,3, (в указанных точках функция ψ(m)(z) имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,
ψ(m)(z)=(1)m+1m!ζ(m+1,z).

 В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.
 Отметим, что в литературе ψ(m)(z) иногда обозначается как ψm(z) или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция ψ(z)=ψ(1)(z) называется тригамма-функцией, ψ(z)=ψ(2)(z) — тетрагамма-функцией, ψ(z)=ψ(3)(z) — пентагамма-функцией, ψ(z)=ψ(4)(z) — гексагамма-функцией, и т.д.
 \_\_TOC\_\_

Интегральное представление


 Полигамма-функция может быть представлена как
ψ(m)(z)=(1)m+10tmezt1etdt

 Это представление справедливо для и . При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде
ψ(z)=ψ(0)(z)=γ+0etezt1etdt=γ+011tz11tdt,

 где γ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Асимптотические разложения


 При z (|argz|<π) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:
ψ(m)(z)=(1)m1[(m1)!zm+m!2zm+1+k=1(2k+m1)!B2k(2k)!z2k+m]

 Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид
ψ(m)(z+1)=k=0(1)m+k+1(m+k)!ζ(m+k+1)zkk!,

 где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при z \textless 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.

Частные значения


 Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,
ψ(m)(1)=(1)m+1m!ζ(m+1),m>0

ψ(m)(12)=(1)m+1m!(2m+11)ζ(m+1),m>0,

 а для дигамма-функции (при m=0) —
ψ(1)=ψ(0)(1)=γ,

ψ(12)=ψ(0)(12)=γ2ln2,

 где γ — постоянная Эйлера—Маскерони.
 Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.

Другие формулы


 Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению
ψ(m)(z+1)=ψ(m)(z)+(1)mm!zm+1,

 а также формуле дополнения
ψ(m)(1z)+(1)m+1ψ(m)(z)=(1)mπdmdzmcot(πz).

 Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:
ψ(m)(kz)=1km+1n=0k1ψ(m)(z+nk),m>0

 а для дигамма-функции (m=0) к правой части надо добавить lnk,
ψ(kz)=lnk+1kn=0k1ψ(z+nk).