Простое число Фибоначчи Вифериха

Простое число Фибоначчи — Вифериха (также простое число Уолла — Суня — Суня, ) — одно из предположительно существующих простых чисел определённого вида, связанных с числами Фибоначчи. По состоянию на 2013 год ни одного такого числа не найдено.

Определение


 Простое p>5 называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если p2 делит число Фибоначчи Fp(p5), где символ Лежандра (p5) определяется как:

(p5)={1,if p±1(mod5)1,if p±2(mod5)
  Эквивалентное определение: простое p называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если Lp1(modp2), где Lp — p-ое число Люка.

Существование


 Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много, однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.
 В 2007 году Ричард Макинтош (Richard J. McIntosh) и Эрик Рётгер (Eric L. Roettger) показали, что если они существуют, то должны быть больше 2, в 2010 году Франсуа Дорэ (François G. Dorais) и Доминик Клайв (Dominic Klyve) довели границу до 9,7. В декабре 2011 года был начат поиск в проекте PrimeGrid, в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5. По состоянию на апрель 2014 года PrimeGrid дошёл до границы 2.8 и продолжает поиск.

История


 Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь Дональда Уолла (Donald Dines Wall), Сунь Чжихуна (Sūn Zhìhóng) и Сунь Чживэя (Sūn Zhìwěi), которые в 1992 году показали, что если первый случай великой теоремы Ферма неверен для некоторого простого p, то p должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный контрпример.

Обобщения


Простое (число) трибоначчи — Вифериха  — простое число, удовлетворяющее условию

h(p)=h(p2),
  где h(m) — наименьшее положительное целое, для которого выполняется условие

[Th,Th+1,Th+2][T0,T1,T2](modm),
Tn — число трибоначчи с номером n, определённое как

Tn+3=Tn+2+Tn+1+Tn,
T0=0,T1=0,T2=1.
  Простых трибоначчи — Вифериха, меньших 1011, не существует.