Задача Брокара

Задача Брокара — это математическая задача нахождения целых чисел n, для которых

n!+1=m2,
  где n! — факториал. Задача была поставлена Анри Брокаром в статьях 1876 и 1885 года и, независимо, в 1913 году Рамануджаном.

Числа Брауна


 Пары чисел (n, m), решающие задачу Брокара, носят название числа Брауна. Известны только три пары таких чисел:

  (4, 5), (5, 11), и (7, 71).
  Пал Эрдёш высказал предположение, что других решений не существует. Оверхольт показал, что существует лишь конечное число решений при условии, что abc-гипотеза верна. Берндт и Галвей выполнили вычисления для n вплоть до 109 и не нашли других решений.

Варианты задачи


 Дабровский обобщил результат Оверхольта, показав, что из abc-гипотезы следует, что

n!+A=k2
  имеет только конечное число решений для любого заданного числа A. Этот результат далее обобщил Лука, показав (снова в предположении верности abc гипотезы), что равенство

n!=P(x)
  имеет лишь конечное число целых значений для заданного многочлена P(x) по меньшей мере второй степени с целыми коэффициентами.