Седьмая проблема Гильберта

Седьмая проблема Гильберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Задача связана с доказательством и изучением трансцендентности и иррациональности некоторых чисел.

Постановка задачи


 Ниже приведена выдержка из доклада Гильберта, посвящённая седьмой проблеме.

Решение


 Сам Гильберт считал седьмую задачу очень трудной. Карл Зигель приводит цитату Гильберта, в которой тот относит время решения седьмой задачи гораздо дальше доказательства гипотезы Римана и теоремы Ферма.
 Тем не менее, частичное решение, относящееся к трансцендентности отношения основания к боковой стороне равнобедренного треугольника, было получено А. О. Гельфондом уже в 1929 году, а трансцендентность числа 22 была доказана Р. О. Кузьминым в 1930 году. В 1934 году Гельфонд получил окончательное решение задачи: он доказал, что число вида αβ, где α — алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а β — иррациональное алгебраическое число, всегда является трансцендентным (число eπ впоследствии даже получило название постоянной Гельфонда). Немного позднее решение было получено также Теодором Шнайдером.