Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Гипотеза Сингмастера

 В теории чисел гипотеза Сингмастера, названная в честь ДэвидаСингмастера, утверждает, что имеется конечная верхняя граница количестваодинаковых чисел (больших единицы) в треугольнике Паскаля. Ясно, чтотолько единица содержится в треугольнике Паскаля бесконечное число раз,поскольку любое другое число x может встретиться только в первыхx + 1 строках треугольника. Пол Эрдёш считал, что гипотезаСингмастера верна, но предполагал, что доказать это будет трудно.
 Пусть N(a) — количество появлений числа a\textgreater 1 в треугольнике Паскаля. В O-нотации гипотезаСингмастера записывается как:

N(a)=O(1).

Известныерезультаты


 Сингмастер (1971) показал, что

N(a)=O(loga).
 Позднее Аббот (Abbot), Эрдёш и Хансон (Hanson) улучшили оценку. Лучшаяна сегодня оценка

N(a)=O((loga)(loglogloga)(logloga)3)
 получена Даниэлем Кейном (2007).
 Аббот, Эрдёш и Хансон также заметили, что условие гипотезы Крамера орасстоянии между последовательными простыми числами влечёт оценку:

N(a)=O(log(a)2/3+ε)
 для любого ε>0.
 Сингмастер (1975) показал, что диофантово уравнение

(n+1k+1)=(nk+2),
 имеет бесконечно много решений для двух переменных n, k.Отсюда следует, что имеется бесконечно много случаев вхождения чисел 6 иболее раз. Решения задаются уравнениями

n=F2i+2F2i+31,


k=F2iF2i+31,
 где Fn — n-ое число Фибоначчи(согласно общепринятому F1 =F2 = 1).

Числовыепримеры


 Согласно вычислениям,

  • 2 появляется только один раз; все числа, большие 2, появляются более одного раза;
  • 3, 4, 5 появляются 2 раза;
  • 6 появляется 3 раза;
  • многие числа появляются 4 раза.
  • Каждое из следующих чисел появляется 6 раз:
    (1201)=(162)=(103)
    (2101)=(212)=(104)
    (15401)=(562)=(223)
    (71401)=(1202)=(363)
    (116281)=(1532)=(195)
    (243101)=(2212)=(178)
  • Наименьшее число, появляющееся 8 раз — это 3003, которое является также первым членом бесконечного семейства чисел Сингмастера, встречающихся не менее 6 раз:
    (30031)=(782)=(155)=(146)

 Следующее число в бесконечном семействе Сингмастера, и следующеенаименьшее известное число, появляющееся шесть и более раз — это61218182743304701891431482520.
 Неизвестно, появляются ли какие-либо числа более чем восемь раз.Существует гипотеза, что максимальное число вхождений не превышает 8, ноСингмастер полагает, что оно должна быть 10 или 12.
 Неизвестно, существуют ли числа, которые появляется в треугольникеПаскаля ровно пять или ровно семь раз.