Свободное от сумм множество

Свободное от сумм множество — множество, не включающее суммы своих элементов, используется в аддитивной комбинаторике и аддитивной теории чисел. Формально, подмножество A абелевой группы G является свободным от сумм, если сумма AA не пересекается с A. Другими словами, A является свободным от сумм, если уравнение a+b=c не имеет решения для a,b,cA.
 Например, множество нечётных чисел является свободным от сумм подмножеством целых чисел, а множество {N/2+1,,N} образует свободное от сумм подмножество множества {1,,N} (для чётного N).
 Великая теорема Ферма утверждает, что множество ненулевых n-х степеней является свободным от целых подмножеством целых чисел для n>2.
 Некоторые вопросы, возникающие по отношению к свободным от сумм множествам:

  • Сколько свободных от сумм подмножеств множества {1,,N} существует для заданного N? Бен Грин и Александр Сапоженко показали, что ответ — O(2N/2), как было предположено в в гипотезе Кэмерона — Эрдёша.
  • Сколько свободных от сумм подмножеств содержит абелева группа G?
  • Какова величина наибольшего свободного от сумм подмножества, содержащегося в абелевой группе G?

 Свободное от сумм множество называется максимальным, если нет содержащего его большего свободного от сумм множества.