Супернатуральные числа

Супернатуральные числа (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число ω является формальным произведением:

ω=ppnp,
  где p может быть любым простым числом, а каждое np является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут vp(ω) для обозначения np. Если не выполняется условие np= и имеется только конечное число ненулевых np, тогда мы получаем полностью натуральный ряд чисел. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют делить любое данное простое число ω «бесконечно много», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.
 Не существует естественного пути определить сложение для супернатуральных чисел, но они могут быть перемножены ppnpppmp=ppnp+mp. Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости ω1ω2 если vp(ω1)vp(ω2) для всех p. Мы можем также ввести для супернатуральных чисел понятие наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель, определив

lcm({ωi})=ppsup(vp(ωi))


gcd({ωi})=ppinf(vp(ωi))
  С помощью этих алгоритмов мы сможем как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.
 Мы также можем распространить обычные p-адические функции на супернатуральные числа, определив vp(ω)=np для каждого p.
 Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп, и благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.