Тригамма функция

Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается ψ1(z) и определяется как

ψ1(z)=d2dz2lnΓ(z),
 где Γ(z) — гамма-функция. Из этого определения следует, что

ψ1(z)=ddzψ(z),
 где ψ(z) — дигамма-функция (первая из полигамма-функций).
 Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:

ψ1(z)=n=01(z+n)2,
  откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица ,

ψ1(z)=ζ(2,z).
  Эти формулы верны, когда z0,1,2,3, (в указанных точках функция имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).
 Существуют также другие обозначения для ψ1(z), используемые в литературе:

ψ(z),ψ(1)(z).
  Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции F(z)=ψ1(z+1).

Интегральные представления


 Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:

ψ1(z)=010yxz1y1xdxdy
  С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:

ψ1(z)=01xz1lnx1xdx

 Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e—t:

ψ1(z)=0ezt1etdt

Другие формулы


 Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

ψ1(z+1)=ψ1(z)1z2,
  а также формуле дополнения

ψ1(1z)+ψ1(z)=π2sin2(πz).
  Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:
ψ1(kz)=1k2n=0k1ψ1(z+nk).

 Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли
ψ1(z+1)=1z12z2+k=1B2kz2k+1
.

Частные значения


 Ниже приведены частные значения тригамма-функции:
ψ1(14)=π2+8G

ψ1(13)=23π2+33Cl2(23π)

ψ1(12)=12π2

ψ1(23)=23π233Cl2(23π)

ψ1(34)=π28G

ψ1(1)=16π2

 где G — постоянная Каталана, а Cl2(θ) — функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через
Cl2(θ)=Im[Li2(eiθ)].

 Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь ψ1(18) с функцией Клаузена, получаем
ψ1(16)=2π2+153Cl2(23π)

ψ1(56)=2π2153Cl2(23π)

ψ1(18)=(2+2)π2+4(42)G+162Cl2(π4)

ψ1(38)=(22)π24(4+2)G+162Cl2(π4)

ψ1(58)=(22)π2+4(4+2)G162Cl2(π4)

ψ1(78)=(2+2)π24(42)G162Cl2(π4)

 Для значений за пределами интервала $0
ψ1(54)=π2+8G16

ψ1(32)=12π24

ψ1(2)=16π21