Суммы Вейля

Определение


 Суммами Вейля называются тригонометрические суммы вида
 $\displaystyle\sum_{a где nZ, а функция
f(x)=αkxk+αk1xk1++α1x+α0R[x]
 есть многочлен степени k с вещественными коэффициентами. Название ``суммы Вейля'' для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля


 Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена f(x) — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю m) называются суммы Вейля с функцией f(x)=Pk(x)m:
 $\displaystyle\sum_{a где m>1 — некоторое фиксированное целое число, nZ, а
Pk(x)=akxk+ak1xk1++a1x+a0Z[x]
 есть многочлен степени k с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля



  • Если f(x)=ax, то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
  • Если m=p — простое число, то суммы Вейля с многочленом f(x)=axk (k>1) называются суммами Гаусса порядка k, а при k=2 — суммами Гаусса.
  • Если m=p — простое число, то для каждого n, не кратного p, в поле вычетов Zp всегда существует число n, обратное к n:

nn1modp, и при этом nnp2modp.

  Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом Pp1(n)=anp1+bn могут быть записаны в виде
  $\displaystyle{\sum_{a
  (штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем n, не кратным p) и называются суммами Клостермана.

Оценки сумм Вейля


 Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.